Géométrie
Calculatrice de volume et de surface
Choisissez le solide, saisissez les mesures et obtenez volume, surface totale et surface latérale, ainsi que les grandeurs que les énoncés dissimulent : apothème, aire de base, diagonale.
Volume, surface totale et latérale
Volume et surface répondent à des questions différentes : le volume dit ce qui tient à l'intérieur — litres d'eau dans une cuve, mètres cubes de béton — la surface dit quelle quantité de matière il faut pour l'envelopper. Leur mise à l'échelle est peu intuitive : si l'on double toutes les mesures, la surface est multipliée par quatre mais le volume par huit, et c'est pourquoi un grand contenant est plus efficace que beaucoup de petits.
La surface latérale est donnée à part parce que c'est celle dont on a le plus souvent besoin en pratique : peindre les flancs d'un silo, habiller une colonne, dimensionner l'étiquette qui entoure une canette. Pour la sphère et le tétraèdre régulier elle n'apparaît pas : il n'y a pas de base à distinguer des flancs.
Pour le cône et la pyramide, la mesure décisive est l'apothème, la ligne inclinée qui relie le sommet au bord de la base. Ce n'est pas la hauteur et il s'obtient par le théorème de Pythagore : la calculatrice le détermine et l'affiche, car c'est l'étape où l'erreur se produit.
Erreurs fréquentes
- Utiliser la hauteur au lieu de l'apothème pour la surface latérale d'un cône ou d'une pyramide : l'apothème est toujours le plus grand des deux.
- Oublier que la surface totale du cylindre comprend deux bases et non une : la formule est 2πr(r+h).
- Mélanger les unités : un volume en centimètres cubes et une surface en mètres carrés ne se comparent pas. Ramenez toutes les mesures à la même unité avant de calculer.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre surface totale et latérale ?
La surface latérale est celle des flancs, sans les bases ; la totale ajoute les bases. Pour un cylindre, la latérale vaut 2πrh et la totale 2πr(r+h) : la différence, ce sont les deux disques de base.
Comment obtenir les litres d'une cuve cylindrique ?
Saisissez le rayon et la hauteur en décimètres : le volume sort en décimètres cubes, et un décimètre cube vaut exactement un litre. C'est le chemin le plus court des mesures aux litres, sans conversion.
L'apothème d'une pyramide est-il sa hauteur ?
Non. La hauteur va du sommet au centre de la base, perpendiculairement ; l'apothème va du sommet au milieu d'une arête de base, le long d'une face. L'apothème est plus grand, et c'est lui qui entre dans la surface latérale.
Comment fonctionne ce calcul
Cube : V = l³, S = 6l², diagonale = l√3. Pavé droit : V = a·b·c, S = 2(ab+ac+bc). Sphère : V = 4/3·πr³, S = 4πr². Cylindre : V = πr²h, latérale = 2πrh, S = 2πr(r+h). Cône : apothème = √(r²+h²), V = πr²h/3, latérale = πr·apothème, S = πr(r+apothème). Pyramide à base carrée : apothème = √(h²+(l/2)²), V = l²h/3, latérale = 2·l·apothème, S = l² + latérale. Tétraèdre régulier : V = l³/(6√2), S = √3·l².