Matematyka
Kalkulator prawdopodobieństwa
Od prawdopodobieństwa klasycznego po twierdzenie Bayesa: wybierz regułę, której potrzebuje twoje zadanie, i podaj dane. Zdarzenie przeciwne jest zawsze pokazane, bo to przez nie rozwiązuje się zadania typu „co najmniej jeden".
Reguły i kiedy je stosować
Definicja klasyczna — zdarzenia sprzyjające do możliwych — obowiązuje tylko wtedy, gdy wszystkie przypadki są jednakowo prawdopodobne. Dlatego działa przy kostkach i taliach kart, a nie przy „jutro spadnie deszcz albo nie": te dwa przypadki nie są jednakowo prawdopodobne, a liczenie ich jako dwa na dwa dawałoby 50% dowolnemu zdarzeniu.
Suma i iloczyn to dwie podstawowe operacje. Przy sumie dodaje się prawdopodobieństwa i odejmuje iloczyn, bo wspólne przypadki liczyłyby się inaczej dwukrotnie. Przy iloczynie mnoży się, ale tylko gdy zdarzenia są niezależne: wyciągnięcie dwóch asów z talii bez zwracania nie jest niezależne, a pomnożenie 4/52 przez 4/52 daje błędny wynik.
Twierdzenie Bayesa jest najmniej intuicyjne i najbardziej użyteczne. W postaci testu diagnostycznego pokazuje, dlaczego test o 99-procentowej trafności przy rzadkiej chorobie i tak daje mnóstwo fałszywych alarmów: jeśli choroba dotyka jednej osoby na sto, a test myli się u 5% zdrowych, to na dziesięć tysięcy osób wykrytych chorych będzie około dziewięćdziesięciu dziewięciu, ale zdrowych błędnie dodatnich blisko pięciuset. Prawdopodobieństwo, że po dodatnim wyniku jest się naprawdę chorym, wynosi więc około 17%, a nie 99%.
Częste błędy
- Mnożenie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych, gdy takie nie są: jeśli wynik pierwszego zmienia warunki drugiego, potrzeba prawdopodobieństwa warunkowego, a nie zwykłego iloczynu.
- Wpisywanie procentów zamiast ułamków: prawdopodobieństwo 25% zapisuje się jako 0,25. Wartość większa od 1 nie jest prawdopodobieństwem.
- Zamiana P(A|B) z P(B|A) w twierdzeniu Bayesa: prawdopodobieństwo bycia chorym przy dodatnim teście bardzo różni się od prawdopodobieństwa dodatniego testu przy chorobie. To właśnie wokół tego błędu zbudowane jest twierdzenie.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń niezależnych?
Mnoży się oba prawdopodobieństwa: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Obowiązuje to tylko dla zdarzeń niezależnych, czyli gdy zajście jednego nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego.
Jak obliczyć prawdopodobieństwo, że zajdzie co najmniej jedno z dwóch zdarzeń?
Wzorem na sumę: P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Dla zdarzeń niezależnych można też przejść przez zdarzenie przeciwne: 1 minus prawdopodobieństwo, że nie zajdzie żadne.
Czym jest prawdopodobieństwo warunkowe?
To prawdopodobieństwo A przy wiedzy, że zaszło B, i wynosi P(A ∩ B)/P(B). Wiedza o zajściu B zawęża przestrzeń zdarzeń możliwych, stąd dzielenie przez prawdopodobieństwo B.
Kiedy stosuje się rozkład dwumianowy?
Gdy powtarza się n razy tę samą niezależną próbę o dwóch wynikach i stałym prawdopodobieństwie sukcesu, a chcemy wiedzieć, jak prawdopodobne jest dokładnie k sukcesów. Rzuty monetą, rzuty osobiste, kontrola jakości partii.
Jak działa to obliczenie
Prawdopodobieństwo klasyczne: P = zdarzenia sprzyjające / możliwe, przy zdarzeniach jednakowo prawdopodobnych. Zdarzenie przeciwne: P(nie A) = 1 − P(A). Suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Iloczyn zdarzeń niezależnych: P(A ∩ B) = P(A)·P(B); co najmniej jedno z dwóch: 1 − (1−P(A))·(1−P(B)). Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), określone dla P(B) > 0. Twierdzenie Bayesa: P(A|B) = P(B|A)·P(A) / [P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)], gdzie mianownik to prawdopodobieństwo całkowite obserwacji. Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n; k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ, o wartości oczekiwanej n·p i wariancji n·p·(1−p).