Matematyka
Rozwiązywanie nierówności
Podaj współczynniki i wybierz kierunek: otrzymasz rozwiązanie w postaci przedziałów, wraz z wyróżnikiem i pierwiastkami, z których wynika. Zostawiając a = 0, nierówność staje się pierwszego stopnia.
Jak rozwiązuje się nierówność
Nierówność pierwszego stopnia rozwiązuje się jak równanie, z jedną różnicą, która jednak zmienia wszystko: gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, kierunek się odwraca. Z −2x + 4 > 0 przechodzimy do −2x > −4, a potem, dzieląc przez −2, do x < 2, a nie do x > 2. To najczęściej zapominana zasada, a błędny wynik jest doskonale symetryczny do poprawnego, więc nic nie wzbudza podejrzeń.
W drugim stopniu logika się zmienia: nie wyznacza się niewiadomej, lecz bada znak paraboli. Znajduje się pierwiastki równania towarzyszącego, a potem rozumuje na podstawie kształtu wykresu. Przy dodatnim współczynniku a ramiona paraboli są skierowane w górę, więc jest ona dodatnia poza przedziałem między pierwiastkami i ujemna wewnątrz. Przy ujemnym a wszystko się odwraca. Zdanie do zapamiętania: trójmian ma znak a dla wartości leżących poza pierwiastkami.
Przypadki szczególne rozwiązuje się tym samym rozumowaniem. Jeśli wyróżnik jest ujemny, parabola nigdy nie dotyka osi i wszędzie zachowuje znak a: nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych albo dla żadnej. Jeśli wyróżnik wynosi zero, parabola muska oś w jednym punkcie, i ten punkt jest jedynym miejscem, w którym trójmian się zeruje — dlatego liczy się tylko w nierównościach nieostrych.
Częste błędy
- Nieodwrócenie kierunku przy dzieleniu przez ujemny współczynnik: klasyczny błąd pierwszego stopnia, dający dokładnie przeciwny przedział.
- Stosowanie do drugiego stopnia metody z pierwszego, czyli wyznaczanie x: nierówność drugiego stopnia rozwiązuje się przez badanie znaku, a nie przez przenoszenie wyrazów.
- Pomijanie przypadków z ujemnym wyróżnikiem: x² + 1 > 0 jest spełniona dla każdego rzeczywistego x, a x² + 1 < 0 dla żadnego. Brak pierwiastków nie oznacza braku rozwiązania.
Najczęstsze pytania
Kiedy odwraca się kierunek nierówności?
Za każdym razem, gdy mnożymy lub dzielimy obie strony przez liczbę ujemną. Dodawanie i odejmowanie nigdy nie zmieniają kierunku, mnożenie przez liczbę dodatnią również nie.
Jak rozwiązać nierówność drugiego stopnia?
Oblicza się pierwiastki równania towarzyszącego i bada znak trójmianu. Trójmian ma ten sam znak co a dla wartości poza przedziałem między pierwiastkami, a znak przeciwny wewnątrz.
Co się dzieje, gdy wyróżnik jest ujemny?
Trójmian nigdy się nie zeruje i wszędzie zachowuje znak współczynnika a. Nierówność jest zatem spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych albo dla żadnej, zależnie od żądanego kierunku.
Jak zapisuje się rozwiązanie za pomocą przedziałów?
Nawias okrągły wyklucza krańce, kwadratowy je włącza. Rozwiązanie takie jak x < −1 lub x > 3 zapisuje się (−∞; −1) ∪ (3; +∞), gdzie symbol ∪ oznacza sumę dwóch przedziałów.
Jak działa to obliczenie
Pierwszy stopień, bx + c > 0: rozwiązaniem jest x > −c/b przy b > 0 oraz x < −c/b przy b < 0 — tu odwraca się kierunek. Przy b = 0 nierówność nie zawiera niewiadomej i jest prawdziwa zawsze albo nigdy, zależnie od znaku c. Drugi stopień, ax² + bx + c: oblicza się Δ = b² − 4ac. Gdy Δ > 0, pierwiastki to x = (−b ± √Δ)/(2a), a trójmian ma znak a poza przedziałem między nimi i znak przeciwny wewnątrz. Gdy Δ = 0, jest pierwiastek podwójny, a trójmian ma znak a wszędzie poza tym punktem, gdzie wynosi zero. Gdy Δ < 0, trójmian ma znak a dla każdego x. Nierówności nieostre obejmują pierwiastki, ostre je wykluczają.