Matemática
Resolução de inequações
Informe os coeficientes e escolha o sentido: você obtém a solução em intervalos, com o discriminante e as raízes de onde ela sai. Deixe a = 0 e vira uma inequação do primeiro grau.
Como se resolve uma inequação
Uma inequação do primeiro grau se resolve como uma equação, com uma diferença que muda tudo: quando se multiplica ou divide por um número negativo, o sentido se inverte. De −2x + 4 > 0 obtém-se −2x > −4 e depois, dividindo por −2, x < 2 e não x > 2. É a regra mais esquecida, e a resposta errada é perfeitamente simétrica à certa, então nada parece estranho.
No segundo grau a lógica muda: não se isola a incógnita, estuda-se o sinal de uma parábola. Encontram-se as raízes da equação associada e depois raciocina-se sobre a forma do gráfico. Com a positivo a parábola tem concavidade para cima, então é positiva fora do intervalo entre as raízes e negativa dentro dele. Com a negativo tudo se inverte. A frase a lembrar é que o trinômio tem o sinal de a para valores fora das raízes.
Os casos especiais saem do mesmo raciocínio. Se o discriminante é negativo, a parábola nunca encontra o eixo, então mantém o sinal de a em toda parte: a inequação é satisfeita ou por todo número real ou por nenhum. Se o discriminante é zero, a parábola tangencia o eixo em um ponto, e esse ponto é o único lugar em que o trinômio se anula — é por isso que ele só importa nas inequações não estritas.
Erros frequentes
- Não inverter o sentido ao dividir por um coeficiente negativo: o erro clássico do primeiro grau, que produz exatamente o intervalo oposto.
- Aplicar o método do primeiro grau a uma do segundo isolando x: uma inequação do segundo grau se resolve estudando o sinal, não passando termos de lado.
- Esquecer os casos de discriminante negativo: x² + 1 > 0 vale para todo x real, e x² + 1 < 0 para nenhum. Não ter raízes não significa não ter solução.
Perguntas frequentes
Quando o sentido de uma inequação se inverte?
Toda vez que se multiplicam ou dividem os dois lados por um número negativo. Somar ou subtrair nunca o inverte, e multiplicar por um número positivo também não.
Como se resolve uma inequação do segundo grau?
Encontre as raízes da equação associada e estude o sinal do trinômio. Ele tem o mesmo sinal de a para valores fora do intervalo entre as raízes, e o sinal oposto dentro.
O que acontece quando o discriminante é negativo?
O trinômio nunca se anula e mantém o sinal do coeficiente a em toda parte. A inequação é, portanto, satisfeita por todos os números reais ou por nenhum, conforme o sentido pedido.
Como se escreve a solução em notação de intervalos?
Um parêntese exclui o extremo, um colchete o inclui. Uma solução como x < −1 ou x > 3 se escreve (−∞; −1) ∪ (3; +∞), em que ∪ indica a união dos dois intervalos.
Como funciona este cálculo
Primeiro grau, bx + c > 0: a solução é x > −c/b se b > 0, e x < −c/b se b < 0 — é aqui que o sentido se inverte. Com b = 0 a inequação vale sempre ou nunca, conforme o sinal de c. Segundo grau, ax² + bx + c: calcula-se Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0 as raízes são x = (−b ± √Δ)/(2a) e o trinômio tem o sinal de a fora do intervalo entre elas e o sinal oposto dentro. Se Δ = 0 há uma raiz dupla e o trinômio tem o sinal de a em toda parte exceto nesse ponto, onde é zero. Se Δ < 0 o trinômio tem o sinal de a para todo x. As inequações não estritas incluem as raízes, as estritas as excluem.