Matematyka
Kalkulator całek: funkcja pierwotna i całka oznaczona
Wpisz funkcję i otrzymaj jej funkcję pierwotną albo wybierz dwie granice dla całki oznaczonej. Pod wynikiem widnieje użyta metoda, a gdy elementarna funkcja pierwotna nie istnieje, strona to mówi, zamiast ją wymyślać.
Całkowanie to rozpoznawanie pochodnej wstecz
Różniczkowanie jest mechaniczne: dla każdej struktury istnieje reguła i się ją stosuje. Całkowanie nie, i dlatego uczy się go później. Nie ma procedury, która dla dowolnej funkcji zwróci jej funkcję pierwotną: jest repertuar rozpoznawalnych postaci i zestaw technik sprowadzania do nich wszystkiego innego. Praca polega na rozpoznaniu, nie na wykonaniu.
Dwie techniki pokrywające niemal wszystkie zadania to podstawienie i całkowanie przez części — obie to reguły różniczkowania czytane wstecz. Podstawienie to reguła łańcuchowa: funkcja złożona pomnożona przez pochodną swojego wnętrza jest dokładnie tym, co reguła łańcuchowa by wytworzyła. Całkowanie przez części to przekształcona reguła iloczynu i przydaje się, gdy obie funkcje nie mają ze sobą nic wspólnego.
Jest wreszcie fakt, który zaskakuje każdego przychodzącego od pochodnych: niektóre całkiem zwyczajne funkcje nie mają elementarnej funkcji pierwotnej. To nie brak metody ani tej strony, lecz twierdzenie. Dla e^(−x²), krzywej Gaussa, dowiedziono, że żadne skończone złożenie wielomianów, funkcji wykładniczych, logarytmów i trygonometrycznych jej nie całkuje. Całka oznaczona istnieje i jest całkiem porządną liczbą — po prostu liczy się ją inaczej.
Częste błędy
- Pominięcie stałej całkowania w całce nieoznaczonej. Funkcji pierwotnych jest nieskończenie wiele, a + C nie jest formalnością.
- Stosowanie reguły potęgowej dla wykładnika −1. ∫x⁻¹ dx to nie x⁰/0, tylko ln|x| — i wartość bezwzględna ma znaczenie.
- Zmiana zmiennej w podstawieniu i pominięcie różniczki. Jeśli u = g(x), to dx również musi przejść w du/g′(x).
- Zamiana granic całki oznaczonej bez zmiany znaku. Przestawienie a i b odwraca znak wyniku.
- Mylenie całki oznaczonej z polem. Pokrywają się tylko tam, gdzie funkcja jest dodatnia.
Często zadawane pytania
Dlaczego przy wyniku zawsze jest + C?
Bo dwie funkcje różniące się o stałą mają tę samą pochodną: funkcji pierwotnych jest nieskończenie wiele i różnią się właśnie o tę stałą. W całce oznaczonej + C znika, bo występuje dwa razy z przeciwnymi znakami i się skraca.
Kiedy stosuje się podstawienie, a kiedy całkowanie przez części?
Podstawienie pasuje, gdy w funkcji podcałkowej widać funkcję pomnożoną przez pochodną jej własnego wnętrza: to reguła łańcuchowa czytana wstecz. Przez części stosuje się przy iloczynie dwóch funkcji różnej natury, typowo wielomianu przez funkcję wykładniczą, sinus albo logarytm.
Dlaczego czasem nie znajduje funkcji pierwotnej?
Z dwóch różnych powodów. Czasem istnieje, ale wymaga techniki spoza repertuaru tej strony. Czasem nie istnieje wcale: udowodniono, że dla e^(−x²), dla sin(x)/x i innych żadne skończone złożenie funkcji elementarnych nie jest funkcją pierwotną. Całkę oznaczoną i tak się liczy, numerycznie.
Czym różni się wynik dokładny od numerycznego?
Dokładny pochodzi z funkcji pierwotnej obliczonej w granicach i jest poprawny do ostatniej cyfry. Numeryczny przybliża pole metodą Simpsona: wystarczająco dokładnie do zwykłych zastosowań, ale to przybliżenie. Strona zawsze mówi, który z nich podała.
Czy całka oznaczona może wyjść ujemna?
Tak i nie jest to błąd: tam, gdzie funkcja leży pod osią x, jej wkład jest ujemny. Jeśli potrzebne jest pole geometryczne, a nie całka, trzeba podzielić przedział w miejscach zmiany znaku i dodać wartości bezwzględne.
Jak działa to obliczenie
Liniowość: ∫(a·f + b·g) dx = a∫f dx + b∫g dx. Potęga: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) dla n ≠ −1 oraz ∫x⁻¹ dx = ln|x|. Całki podstawowe: ∫sin x dx = −cos x, ∫cos x dx = sin x, ∫e^x dx = e^x, ∫tan x dx = −ln|cos x|, ∫dx/(1+x²) = arctan x, ∫dx/(A x² + C) = arctan(x√(A/C))/√(AC), ∫ln x dx = x·ln x − x. Podstawienie liniowe: ∫f(ax+b) dx = F(ax+b)/a. Podstawienie: ∫f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)), czyli reguła łańcuchowa wstecz. Przez części: ∫u dv = u·v − ∫v du, gdzie u to czynnik upraszczający się przy różniczkowaniu — wielomian albo logarytm. Całka oznaczona: ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a). Gdy nie znaleziono elementarnej funkcji pierwotnej, wartość liczona jest metodą Simpsona na 2000 podprzedziałach, o czym strona informuje.
Powiązane kalkulatory
Pochodne
Pochodna funkcji i reguły użyte do jej wyznaczenia.
Równania pierwszego i drugiego stopnia
Pierwiastki, wyróżnik, wierzchołek i postać iloczynowa równania ax² + bx + c = 0.
Nierówności
Nierówności pierwszego i drugiego stopnia przez badanie znaku.
Równania różniczkowe
Liniowe równania różniczkowe pierwszego i drugiego rzędu o stałych współczynnikach, z rozwiązaniem i wykresem.