Matemáticas
Resolución de inecuaciones
Introduce los coeficientes y elige el sentido: obtienes la solución como intervalos, con el discriminante y las raíces de las que se deduce. Dejando a = 0 la inecuación pasa a ser de primer grado.
Cómo se resuelve una inecuación
Una inecuación de primer grado se resuelve como una ecuación, con una sola diferencia que sin embargo lo cambia todo: cuando se multiplica o se divide por un número negativo, el sentido se invierte. De −2x + 4 > 0 se pasa a −2x > −4 y luego, dividiendo entre −2, a x < 2 y no a x > 2. Es la regla que más se olvida, y el resultado equivocado es perfectamente simétrico al correcto, así que no levanta sospechas.
En el segundo grado la lógica cambia: no se despeja la incógnita sino que se estudia el signo de una parábola. Se hallan las raíces de la ecuación asociada y luego se razona sobre la forma del gráfico. Con el coeficiente a positivo la parábola mira hacia arriba, de modo que es positiva fuera del intervalo entre las raíces y negativa dentro. Con a negativo todo se invierte. La frase que hay que recordar es que el trinomio tiene el signo de a para los valores exteriores a las raíces.
Los casos particulares se resuelven con el mismo razonamiento. Si el discriminante es negativo la parábola no toca nunca el eje, así que mantiene en todas partes el signo de a: la inecuación se cumple para todos los números reales o para ninguno. Si el discriminante es cero la parábola roza el eje en un punto, y ese punto es el único donde el trinomio se anula, razón por la que solo cuenta en las inecuaciones no estrictas.
Errores frecuentes
- No invertir el sentido al dividir por un coeficiente negativo: es el error típico del primer grado, y produce exactamente el intervalo opuesto al correcto.
- Aplicar al segundo grado el método del primero, despejando la x: una inecuación de segundo grado se resuelve estudiando el signo, no moviendo términos.
- Olvidar los casos con discriminante negativo: x² + 1 > 0 se cumple para toda x real, y x² + 1 < 0 para ninguna. No tener raíces no significa no tener solución.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se invierte el sentido de una inecuación?
Cada vez que se multiplican o dividen ambos miembros por un número negativo. Sumar o restar nunca cambia el sentido, y multiplicar por un número positivo tampoco.
¿Cómo se resuelve una inecuación de segundo grado?
Se calculan las raíces de la ecuación asociada y se estudia el signo del trinomio. El trinomio tiene el mismo signo que a para los valores exteriores al intervalo entre las raíces, y signo opuesto para los interiores.
¿Qué pasa si el discriminante es negativo?
El trinomio no se anula nunca y mantiene en todas partes el signo del coeficiente a. La inecuación se cumple por tanto para todos los números reales o para ninguno, según el sentido pedido.
¿Cómo se escribe la solución con intervalos?
El paréntesis excluye el extremo, el corchete lo incluye. Una solución como x < −1 o x > 3 se escribe (−∞; −1) ∪ (3; +∞), donde el símbolo ∪ indica la unión de los dos intervalos.
Cómo funciona este cálculo
Primer grado, bx + c > 0: la solución es x > −c/b si b > 0, y x < −c/b si b < 0 — aquí es donde el sentido se invierte. Con b = 0 la inecuación no contiene la incógnita y es cierta siempre o nunca, según el signo de c. Segundo grado, ax² + bx + c: se calcula Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 las raíces son x = (−b ± √Δ)/(2a) y el trinomio tiene el signo de a fuera del intervalo entre las raíces y el opuesto dentro. Si Δ = 0 hay una raíz doble y el trinomio tiene el signo de a en todas partes salvo en ese punto, donde vale cero. Si Δ < 0 el trinomio tiene el signo de a para toda x. Las inecuaciones no estrictas incluyen las raíces, las estrictas las excluyen.