Mathematik
Ungleichungen lösen
Gib die Koeffizienten ein und wähle die Richtung: du erhältst die Lösung als Intervalle, mit der Diskriminante und den Nullstellen, aus denen sie folgt. Mit a = 0 wird daraus eine lineare Ungleichung.
Wie man eine Ungleichung löst
Eine lineare Ungleichung löst man wie eine Gleichung, mit einem einzigen Unterschied, der jedoch alles verändert: multipliziert oder dividiert man mit einer negativen Zahl, kehrt sich die Richtung um. Aus −2x + 4 > 0 wird −2x > −4 und dann, beim Teilen durch −2, x < 2 und nicht x > 2. Das ist die am häufigsten vergessene Regel, und das falsche Ergebnis ist zum richtigen exakt symmetrisch, fällt also nicht auf.
Im quadratischen Fall ändert sich die Logik: man stellt nicht nach der Unbekannten um, sondern untersucht das Vorzeichen einer Parabel. Man bestimmt die Nullstellen der zugehörigen Gleichung und überlegt dann anhand der Form des Graphen. Bei positivem a öffnet sich die Parabel nach oben, sie ist also außerhalb des Intervalls zwischen den Nullstellen positiv und innerhalb negativ. Bei negativem a kehrt sich alles um. Der Merksatz lautet: das Trinom hat außerhalb der Nullstellen das Vorzeichen von a.
Die Sonderfälle folgen aus derselben Überlegung. Ist die Diskriminante negativ, berührt die Parabel die Achse nie und behält überall das Vorzeichen von a: die Ungleichung gilt entweder für alle reellen Zahlen oder für keine. Ist die Diskriminante null, streift die Parabel die Achse in einem Punkt, und dieser Punkt ist die einzige Stelle, an der das Trinom verschwindet — weshalb er nur bei nicht strengen Ungleichungen zählt.
Häufige Fehler
- Die Richtung beim Teilen durch einen negativen Koeffizienten nicht umkehren: der klassische lineare Fehler, und er liefert genau das entgegengesetzte Intervall.
- Beim quadratischen Fall die lineare Methode anwenden und nach x umstellen: eine quadratische Ungleichung löst man über das Vorzeichen, nicht durch Umstellen von Termen.
- Die Fälle mit negativer Diskriminante vergessen: x² + 1 > 0 gilt für jedes reelle x, und x² + 1 < 0 für keines. Keine Nullstellen zu haben heißt nicht, keine Lösung zu haben.
Häufige Fragen
Wann kehrt sich die Richtung einer Ungleichung um?
Jedes Mal, wenn man beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie teilt. Addieren und Subtrahieren ändern die Richtung nie, Multiplizieren mit einer positiven Zahl ebenso wenig.
Wie löst man eine quadratische Ungleichung?
Man bestimmt die Nullstellen der zugehörigen Gleichung und untersucht das Vorzeichen des Trinoms. Außerhalb des Intervalls zwischen den Nullstellen hat es das Vorzeichen von a, innerhalb das entgegengesetzte.
Was passiert bei negativer Diskriminante?
Das Trinom wird nie null und behält überall das Vorzeichen des Koeffizienten a. Die Ungleichung gilt daher für alle reellen Zahlen oder für keine, je nach verlangter Richtung.
Wie schreibt man die Lösung in Intervallschreibweise?
Die runde Klammer schließt den Randpunkt aus, die eckige schließt ihn ein. Eine Lösung wie x < −1 oder x > 3 schreibt man (−∞; −1) ∪ (3; +∞), wobei ∪ die Vereinigung der beiden Intervalle bezeichnet.
Wie diese Berechnung funktioniert
Linear, bx + c > 0: die Lösung ist x > −c/b für b > 0 und x < −c/b für b < 0 — hier kehrt sich die Richtung um. Bei b = 0 enthält die Ungleichung keine Unbekannte und ist immer oder nie erfüllt, je nach Vorzeichen von c. Quadratisch, ax² + bx + c: man berechnet Δ = b² − 4ac. Für Δ > 0 sind die Nullstellen x = (−b ± √Δ)/(2a), und das Trinom hat außerhalb des Intervalls zwischen ihnen das Vorzeichen von a, innerhalb das entgegengesetzte. Für Δ = 0 gibt es eine doppelte Nullstelle, und das Trinom hat überall das Vorzeichen von a außer an dieser Stelle, wo es null ist. Für Δ < 0 hat das Trinom für jedes x das Vorzeichen von a. Nicht strenge Ungleichungen schließen die Nullstellen ein, strenge schließen sie aus.