Matematica
Risoluzione di disequazioni
Inserisci i coefficienti e scegli il verso: ottieni la soluzione come intervalli, con il discriminante e le radici da cui discende. Lasciando a = 0 la disequazione diventa di primo grado.
Come si risolve una disequazione
Una disequazione di primo grado si risolve come un'equazione, con una sola differenza che però cambia tutto: quando si moltiplica o si divide per un numero negativo, il verso si inverte. Da −2x + 4 > 0 si passa a −2x > −4 e poi, dividendo per −2, a x < 2 e non a x > 2. È la regola che si dimentica più spesso, e il risultato sbagliato è perfettamente simmetrico a quello giusto, quindi non insospettisce.
Nel secondo grado la logica cambia: non si isola l'incognita ma si studia il segno di una parabola. Si trovano le radici dell'equazione associata e poi si ragiona sulla forma del grafico. Con il coefficiente a positivo la parabola guarda verso l'alto, quindi è positiva all'esterno dell'intervallo fra le radici e negativa all'interno. Con a negativo tutto si ribalta. La frase da ricordare è che il trinomio ha il segno di a per i valori esterni alle radici.
I casi particolari si risolvono con lo stesso ragionamento. Se il discriminante è negativo la parabola non tocca mai l'asse, quindi mantiene ovunque il segno di a: la disequazione o è verificata da tutti i numeri reali o da nessuno. Se il discriminante è zero la parabola sfiora l'asse in un punto, e quel punto è l'unico in cui il trinomio si annulla — motivo per cui conta solo nelle disequazioni non strette.
Errori frequenti
- Non invertire il verso dividendo per un coefficiente negativo: è l'errore tipico del primo grado, e produce l'intervallo esattamente opposto a quello corretto.
- Applicare al secondo grado il metodo del primo, isolando la x: una disequazione di secondo grado si risolve studiando il segno, non spostando termini.
- Dimenticare i casi con discriminante negativo: x² + 1 > 0 è verificata per ogni x reale, e x² + 1 < 0 da nessuna. Non avere radici non significa non avere soluzione.
Domande frequenti
Quando si inverte il verso di una disequazione?
Ogni volta che si moltiplicano o si dividono entrambi i membri per un numero negativo. Sommare o sottrarre non cambia mai il verso, e moltiplicare per un numero positivo nemmeno.
Come si risolve una disequazione di secondo grado?
Si calcolano le radici dell'equazione associata e si studia il segno del trinomio. Il trinomio ha lo stesso segno di a per i valori esterni all'intervallo fra le radici, e segno opposto per quelli interni.
Cosa succede se il discriminante è negativo?
Il trinomio non si annulla mai e mantiene ovunque il segno del coefficiente a. La disequazione è quindi verificata da tutti i numeri reali oppure da nessuno, a seconda del verso richiesto.
Come si scrive la soluzione con gli intervalli?
La parentesi tonda esclude l'estremo, la quadra lo include. Una soluzione come x < −1 oppure x > 3 si scrive (−∞; −1) ∪ (3; +∞), dove il simbolo ∪ indica l'unione dei due intervalli.
Come funziona questo calcolo
Primo grado, bx + c > 0: la soluzione è x > −c/b se b > 0, e x < −c/b se b < 0 — è qui che il verso si inverte. Con b = 0 la disequazione non contiene l'incognita ed è vera sempre o mai, a seconda del segno di c. Secondo grado, ax² + bx + c: si calcola Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0 le radici sono x = (−b ± √Δ)/(2a) e il trinomio ha il segno di a all'esterno dell'intervallo fra le radici, segno opposto all'interno. Se Δ = 0 c'è una radice doppia e il trinomio ha il segno di a ovunque tranne in quel punto, dove vale zero. Se Δ < 0 il trinomio ha il segno di a per ogni x. Le disequazioni non strette includono le radici, quelle strette le escludono.