Mathématiques
Résolution d'inéquations
Saisissez les coefficients et choisissez le sens : vous obtenez la solution sous forme d'intervalles, avec le discriminant et les racines dont elle découle. En laissant a = 0, l'inéquation devient du premier degré.
Comment se résout une inéquation
Une inéquation du premier degré se résout comme une équation, avec une seule différence qui change pourtant tout : quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens s'inverse. De −2x + 4 > 0 on passe à −2x > −4 puis, en divisant par −2, à x < 2 et non à x > 2. C'est la règle que l'on oublie le plus souvent, et le résultat erroné est parfaitement symétrique du bon : rien n'éveille les soupçons.
Au second degré la logique change : on n'isole pas l'inconnue, on étudie le signe d'une parabole. On trouve les racines de l'équation associée puis on raisonne sur la forme du graphe. Avec un coefficient a positif la parabole est tournée vers le haut : elle est donc positive à l'extérieur de l'intervalle entre les racines et négative à l'intérieur. Avec a négatif tout se renverse. La phrase à retenir est que le trinôme a le signe de a pour les valeurs extérieures aux racines.
Les cas particuliers se résolvent par le même raisonnement. Si le discriminant est négatif, la parabole ne touche jamais l'axe et conserve partout le signe de a : l'inéquation est vérifiée par tous les réels ou par aucun. Si le discriminant est nul, la parabole effleure l'axe en un point, et ce point est le seul où le trinôme s'annule — raison pour laquelle il ne compte que dans les inéquations larges.
Erreurs fréquentes
- Ne pas inverser le sens en divisant par un coefficient négatif : l'erreur type du premier degré, qui produit exactement l'intervalle opposé au bon.
- Appliquer au second degré la méthode du premier en isolant x : une inéquation du second degré se résout par l'étude du signe, pas en déplaçant des termes.
- Oublier les cas à discriminant négatif : x² + 1 > 0 est vérifiée pour tout réel x, et x² + 1 < 0 pour aucun. N'avoir pas de racines ne signifie pas n'avoir pas de solution.
Questions fréquentes
Quand le sens d'une inéquation s'inverse-t-il ?
Chaque fois que l'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif. Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens, et multiplier par un nombre positif non plus.
Comment résoudre une inéquation du second degré ?
On calcule les racines de l'équation associée et on étudie le signe du trinôme. Il a le même signe que a pour les valeurs extérieures à l'intervalle entre les racines, et le signe opposé à l'intérieur.
Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ?
Le trinôme ne s'annule jamais et conserve partout le signe du coefficient a. L'inéquation est donc vérifiée par tous les réels ou par aucun, selon le sens demandé.
Comment écrit-on la solution avec des intervalles ?
La parenthèse exclut la borne, le crochet l'inclut. Une solution comme x < −1 ou x > 3 s'écrit (−∞ ; −1) ∪ (3 ; +∞), où ∪ désigne l'union des deux intervalles.
Comment fonctionne ce calcul
Premier degré, bx + c > 0 : la solution est x > −c/b si b > 0, et x < −c/b si b < 0 — c'est là que le sens s'inverse. Avec b = 0 l'inéquation ne contient pas l'inconnue et est vraie toujours ou jamais, selon le signe de c. Second degré, ax² + bx + c : on calcule Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 les racines sont x = (−b ± √Δ)/(2a) et le trinôme a le signe de a à l'extérieur de l'intervalle entre les racines, le signe opposé à l'intérieur. Si Δ = 0 il y a une racine double et le trinôme a le signe de a partout sauf en ce point, où il vaut zéro. Si Δ < 0 le trinôme a le signe de a pour tout x. Les inéquations larges incluent les racines, les strictes les excluent.