Calcul de probabilité : classique, conditionnelle, Bayes

Les règles et quand elles s'appliquent

La définition classique — cas favorables sur cas possibles — ne vaut que si tous les cas sont équiprobables. C'est pourquoi elle fonctionne avec les dés et les jeux de cartes et non avec « demain il pleut ou il ne pleut pas » : ces deux cas ne sont pas équiprobables, et les compter comme deux sur deux donnerait 50 % à n'importe quel événement.

Union et intersection sont les deux opérations de base. Pour l'union on additionne les probabilités et on retranche l'intersection, faute de quoi les cas communs seraient comptés deux fois. Pour l'intersection on multiplie, mais seulement si les événements sont indépendants : tirer deux as d'un jeu sans remise ne l'est pas, et multiplier 4/52 par 4/52 donne un résultat faux.

Le théorème de Bayes est le plus contre-intuitif et le plus utile. Sous la forme du test diagnostique, il montre pourquoi un test fiable à 99 % sur une maladie rare produit malgré tout énormément de fausses alertes : si la maladie touche une personne sur cent et que le test se trompe pour 5 % des bien portants, sur dix mille personnes on détecte environ quatre-vingt-dix-neuf malades mais près de cinq cents bien portants faussement positifs. La probabilité d'être réellement malade après un test positif avoisine donc 17 %, et non 99 %.

Erreurs fréquentes

Multiplier les probabilités d'événements non indépendants : si l'issue du premier modifie les conditions du second, il faut la probabilité conditionnelle et non le simple produit.
Saisir des pourcentages au lieu de fractions : une probabilité de 25 % s'écrit 0,25. Une valeur supérieure à 1 n'est pas une probabilité.
Échanger P(A|B) et P(B|A) dans le théorème de Bayes : la probabilité d'être malade sachant un test positif est très différente de la probabilité que le test soit positif sachant la maladie. C'est précisément l'erreur autour de laquelle le théorème est construit.

Questions fréquentes

Comment calculer la probabilité de deux événements indépendants ?

On multiplie les deux probabilités : P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Cela ne vaut que si les événements sont indépendants, c'est-à-dire si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.

Comment calculer la probabilité qu'au moins un de deux événements se produise ?

Avec la formule de l'union : P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Pour des événements indépendants, on peut aussi passer par le complémentaire : 1 moins la probabilité qu'aucun ne se produise.

Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle ?

C'est la probabilité de A sachant que B s'est produit, et elle vaut P(A ∩ B)/P(B). Savoir que B est survenu restreint l'univers des cas possibles, d'où la division par la probabilité de B.

Quand utilise-t-on la loi binomiale ?

Quand on répète n fois la même épreuve indépendante à deux issues et de probabilité de succès constante, et que l'on veut savoir à quel point k succès exactement sont probables. Lancers de pièce, lancers francs, contrôles qualité sur un lot.

Comment fonctionne ce calcul

Probabilité classique : P = cas favorables / cas possibles, valable pour des cas équiprobables. Complémentaire : P(non A) = 1 − P(A). Union : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Intersection d'événements indépendants : P(A ∩ B) = P(A)·P(B) ; au moins l'un des deux : 1 − (1−P(A))·(1−P(B)). Probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), définie pour P(B) > 0. Théorème de Bayes : P(A|B) = P(B|A)·P(A) / [P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)], le dénominateur étant la probabilité totale de l'évidence. Loi binomiale : P(X = k) = C(n ; k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ, d'espérance n·p et de variance n·p·(1−p).

Dénombrement

Factorielle, permutations, arrangements, combinaisons et coefficient binomial.

Suites

Suites arithmétiques et géométriques, terme de rang n et sommes.

Statistiques descriptives

Moyenne, médiane, mode, écart type, quartiles et distribution des fréquences.

Moyenne des notes

Moyenne simple et pondérée, et note nécessaire pour l'objectif.