Schéma de Horner : diviser et factoriser un polynôme

À quoi sert le schéma de Horner

Le schéma de Horner — la règle de Ruffini — est une façon rapide de diviser un polynôme par un binôme de la forme (x − a) : on abaisse le premier coefficient, on le multiplie par a, on l'ajoute au suivant et l'on continue jusqu'au bout. Les nombres de la ligne du bas sont les coefficients du quotient, et le dernier est le reste. Cela tient en moins de place que la division posée, puisqu'on ne manipule que les coefficients, sans réécrire chaque fois les puissances de x.

Ce dernier nombre n'est pas qu'un reste : d'après le théorème du reste, c'est la valeur du polynôme en a. S'il vaut zéro, a est une racine, (x − a) est un facteur, et le quotient est ce qu'il reste à factoriser — d'un degré de moins, donc plus facile. En répétant le procédé sur le quotient on arrive à la factorisation complète, et c'est pourquoi division et factorisation s'apprennent ensemble.

Reste à savoir quels a essayer, et c'est le théorème des racines rationnelles qui répond : si le polynôme est à coefficients entiers, toute racine rationnelle p/q a p diviseur du terme constant et q diviseur du coefficient dominant. Les candidats sont donc en nombre fini et s'essaient tous. Ce qui échoue n'est pas une racine rationnelle, et ce calculateur le dit au lieu de rendre une valeur approchée : un polynôme comme x² − 2 a des racines réelles, mais aucune rationnelle, et ce schéma ne le factorise pas.

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe sur a. On divise par (x − a) : pour diviser par (x + 3), la valeur à saisir est donc −3. C'est l'erreur la plus courante, et un gros reste là où l'on attendait zéro la trahit.
Oublier les coefficients nuls. Dans x³ − 4x le coefficient de x² vaut zéro et doit être saisi : le sauter décale tous les autres d'un rang et le résultat n'a plus rien à voir avec le polynôme de départ.
N'essayer que des entiers. Avec un coefficient dominant différent de 1, les racines rationnelles peuvent être fractionnaires : 2x² − 3x + 1 s'annule en 1/2, qu'aucune recherche parmi les seuls entiers ne trouverait.

Questions fréquentes

Comment fonctionne le schéma de Horner, pas à pas ?

On écrit les coefficients du degré le plus élevé au terme constant, zéros compris. On abaisse le premier, on le multiplie par a et on l'ajoute au deuxième ; on multiplie le résultat par a et on l'ajoute au troisième, et ainsi de suite. Tous les nombres sauf le dernier sont les coefficients du quotient ; le dernier est le reste.

Quand un polynôme est-il divisible par (x − a) ?

Quand le reste est nul, c'est-à-dire quand P(a) = 0. C'est le théorème du facteur, conséquence directe du théorème du reste : diviser par (x − a) laisse pour reste la valeur du polynôme en a.

Comment savoir quelles racines essayer ?

Par le théorème des racines rationnelles : à coefficients entiers, toute racine rationnelle est p/q où p divise le terme constant et q le coefficient dominant. Tous les candidats sont essayés, avec les deux signes. Ce calculateur le fait pour vous.

Que veut dire qu'une racine est de multiplicité deux ?

Que le facteur (x − a) apparaît deux fois dans la factorisation : après l'avoir divisé une fois, le quotient s'annule encore en a. Ainsi x³ − 6x² + 12x − 8 vaut (x − 2)³ : la racine 2 est de multiplicité trois.

Peut-on diviser par (2x − 1) avec ce schéma ?

Pas directement : la règle vaut pour les diviseurs unitaires, de la forme (x − a). Mais on met le 2 en facteur, en écrivant 2x − 1 = 2(x − 1/2), on divise par (x − 1/2) puis on divise le quotient par 2. Ce calculateur accepte des valeurs fractionnaires de a, vous pouvez donc saisir 0,5 directement.

Comment fonctionne ce calcul

Division par (x − a) : à partir des coefficients aₙ, aₙ₋₁, …, a₀, on pose bₙ₋₁ = aₙ puis b₍ₖ₋₁₎ = aₖ + a·bₖ en descendant jusqu'au terme constant. Les b sont les coefficients du quotient et la dernière valeur calculée est le reste R, avec P(x) = (x − a)·Q(x) + R. Théorème du reste : R = P(a). Théorème du facteur : (x − a) divise P exactement quand P(a) = 0. Théorème des racines rationnelles : si P est à coefficients entiers, toute racine rationnelle p/q irréductible a p diviseur de a₀ et q diviseur de aₙ ; la recherche essaie tous ces candidats avec les deux signes et répète la division sur chacun tant que le reste demeure nul, ce qui donne la multiplicité. Zéro ne figure pas parmi ces candidats, puisqu'il ne divise aucun terme constant, et il est traité à part : c'est une racine quand a₀ = 0. Tous les calculs se font sur des fractions d'entiers et non en virgule flottante, car le reste doit être comparé à zéro exactement.

Équations du premier et du second degré

Racines, discriminant, sommet et forme factorisée de ax² + bx + c = 0.

Radicaux

Simplification des racines et rationalisation du dénominateur.

Logarithmes et exponentielles

Logarithme dans n'importe quelle base, équations exponentielles et changement de base.

Factorisation de polynômes

Mise en facteur, racines évidentes, identités remarquables et trinômes : factoriser un polynôme pas à pas.