Mathématiques
Calculatrice d'équations du premier et du second degré
Saisissez les coefficients de ax² + bx + c = 0 et obtenez les racines, le discriminant, le sommet de la parabole et la factorisation.
Comment résoudre ces équations
Une équation du premier degré, bx + c = 0, a toujours exactement une solution lorsque b est différent de zéro : x = −c/b. Les deux cas limites sont instructifs. Si b et c sont tous deux nuls, l'égalité est vraie pour n'importe quel x et l'équation est dite indéterminée ; si b est nul mais pas c, aucune valeur ne la satisfait et l'équation est impossible.
Pour le second degré, la formule de résolution est x = (−b ± √Δ) / 2a, où Δ = b² − 4ac est le discriminant. C'est le signe de Δ qui décide de tout : positif, il donne deux racines réelles distinctes ; nul, une racine double ; négatif, deux racines complexes conjuguées, de la forme p ± qi. Dans le plan cartésien, la lecture est immédiate : Δ donne le nombre d'intersections entre la parabole y = ax² + bx + c et l'axe des x.
D'autres informations utiles gravitent autour des racines. Les relations de Viète disent que la somme des racines vaut −b/a et leur produit c/a : c'est une excellente vérification à la main du résultat. Le sommet de la parabole se situe en x = −b/2a, exactement à mi-chemin entre les deux racines lorsqu'elles sont réelles, et son ordonnée indique si la parabole touche l'axe, le coupe ou l'évite. Quand les racines sont réelles, on peut écrire la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂), qui est la même équation relue comme un produit de facteurs.
Exemple chiffré : x² − 3x + 2 = 0. Le discriminant vaut 9 − 8 = 1, positif, il y a donc deux racines réelles : x = (3 ± 1) / 2, soit 1 et 2. La somme fait 3, ce qui coïncide avec −b/a, et le produit fait 2, soit c/a. Le sommet se trouve en x = 1,5 avec pour ordonnée −0,25, et la forme factorisée est (x − 1)(x − 2).
Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins devant b dans la formule de résolution : c'est l'erreur la plus fréquente lorsque b est déjà négatif, parce que les deux signes s'annulent.
- Calculer le discriminant comme b² − 4c, en laissant de côté le coefficient a : la formule correcte est b² − 4ac.
- Conclure qu'une équation n'a pas de solutions lorsque le discriminant est négatif : elle n'en a pas de réelles, mais elle en a deux complexes conjuguées.
- Diviser par a sans vérifier qu'il est différent de zéro : avec a nul l'équation est du premier degré et la formule de résolution ne s'applique pas.
- Écrire la forme factorisée a(x + x₁)(x + x₂) : les signes des racines doivent être inversés, car les facteurs sont (x − x₁) et (x − x₂).
Questions fréquentes
Quelle est la formule de résolution des équations du second degré ?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, valable lorsque a est différent de zéro. La quantité sous la racine est le discriminant Δ, et son signe détermine le nombre et la nature des solutions.
Qu'indique le discriminant ?
Δ = b² − 4ac indique le nombre de solutions réelles : s'il est positif il y en a deux distinctes, s'il est nul une seule comptée deux fois, s'il est négatif aucune réelle mais deux complexes conjuguées. Géométriquement, il compte les intersections de la parabole avec l'axe des x.
Que se passe-t-il si le coefficient a vaut zéro ?
L'équation n'est plus du second degré mais du premier, bx + c = 0, et la solution est x = −c/b. La calculatrice reconnaît le cas d'elle-même et bascule sur la formule correcte au lieu de diviser par zéro.
Comment trouve-t-on le sommet de la parabole ?
L'abscisse du sommet vaut x = −b/2a et l'ordonnée s'obtient en remplaçant cette valeur dans l'équation. Lorsque les racines sont réelles, le sommet se trouve exactement à mi-chemin entre les deux, parce que la parabole est symétrique par rapport à cette verticale.
Que sont les relations de Viète ?
Elles relient les coefficients aux racines sans résoudre l'équation : la somme des racines vaut −b/a et le produit c/a. C'est un moyen rapide de vérifier un résultat, ou de reconstruire une équation à partir de ses solutions.
Comment fonctionne ce calcul
Premier degré : de bx + c = 0 découle x = −c/b. Second degré : Δ = b² − 4ac et x = (−b ± √Δ) / 2a. Avec Δ < 0, les racines valent (−b / 2a) ± (√(−Δ) / 2a)i. Le sommet se trouve en x = −b/2a, l'ordonnée s'obtenant par substitution. La somme et le produit des racines valent −b/a et c/a. Pour éviter la perte de précision quand −b et √Δ se compensent presque, la calculatrice tire une racine de la formule et l'autre du produit c/a.