Algebra lineare
Calcolatrice del determinante e della matrice inversa
Inserisci una matrice quadrata e ottieni determinante, rango e matrice inversa, con la verifica immediata dell'invertibilità.
A che cosa serve il determinante
Il determinante è un numero che si associa a una matrice quadrata e ne riassume una proprietà decisiva: se vale zero la matrice è singolare, cioè le sue righe (o colonne) sono linearmente dipendenti e la trasformazione che rappresenta schiaccia lo spazio su una dimensione inferiore. Se è diverso da zero la matrice è invertibile, il sistema lineare associato ha soluzione unica e la trasformazione è reversibile.
Geometricamente il valore assoluto del determinante è il fattore di scala dei volumi: una matrice 2 × 2 con determinante 3 trasforma un quadrato di area 1 in un parallelogramma di area 3. Il segno indica se l'orientamento viene conservato o ribaltato. Un determinante nullo significa che l'area o il volume vengono annullati, il che è esattamente l'immagine geometrica della dipendenza lineare.
Il calcolo per cofattori, quello che si impara sui banchi di scuola, ha costo fattoriale e diventa impraticabile oltre le matrici 9 × 9. Questa calcolatrice usa l'eliminazione di Bareiss, una variante dell'eliminazione di Gauss che mantiene esatte tutte le divisioni intermedie: su una matrice di soli numeri interi il determinante viene calcolato in aritmetica a precisione arbitraria e il risultato è esatto, senza gli errori di arrotondamento tipici del calcolo in virgola mobile.
L'inversa esiste solo quando il determinante è diverso da zero, e viene ricavata riducendo la matrice affiancata all'identità: si applicano le stesse operazioni elementari a entrambe finché la prima diventa l'identità, e a quel punto la seconda è l'inversa. Il rango, mostrato accanto al determinante, dice quante righe sono davvero indipendenti: per una matrice n × n invertibile vale esattamente n.
Errori comuni
- Calcolare il determinante di una matrice non quadrata: l'operazione non è definita, servono tante righe quante colonne.
- Confondere la regola di Sarrus con un metodo generale: funziona solo per le matrici 3 × 3 e dà risultati errati se applicata a dimensioni superiori.
- Dimenticare che uno scambio di righe cambia il segno del determinante, mentre sommare a una riga un multiplo di un'altra lo lascia invariato.
- Assumere che il determinante di una somma sia la somma dei determinanti: non lo è. È invece vero che det(AB) = det(A) × det(B).
- Considerare invertibile una matrice con determinante molto piccolo ma non nullo: è formalmente invertibile, ma mal condizionata, e l'inversa amplifica ogni errore sui dati.
Domande frequenti
Come si calcola il determinante di una matrice 2 × 2?
Si moltiplicano gli elementi della diagonale principale e si sottrae il prodotto dell'altra diagonale: per [[a, b], [c, d]] il determinante è ad − bc. Per le 3 × 3 si può usare la regola di Sarrus, mentre oltre conviene l'eliminazione di Gauss.
Che cosa significa che il determinante è zero?
Che la matrice è singolare: le righe sono linearmente dipendenti, non esiste l'inversa e il sistema lineare associato non ha soluzione unica. Geometricamente la trasformazione riduce le dimensioni dello spazio, annullando aree o volumi.
Quando esiste la matrice inversa?
Solo per matrici quadrate con determinante diverso da zero. In quel caso l'inversa è unica e soddisfa A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I, dove I è la matrice identità dello stesso ordine.
Che rapporto c'è fra determinante e rango?
Per una matrice n × n il determinante è diverso da zero se e solo se il rango vale n, cioè se tutte le righe sono indipendenti. Un rango inferiore implica sempre determinante nullo, e indica quante righe sono effettivamente indipendenti.
Il risultato è esatto o approssimato?
Se tutti gli elementi sono numeri interi il determinante viene calcolato in aritmetica esatta a precisione arbitraria, quindi è esatto. Con elementi decimali il calcolo avviene in virgola mobile e il risultato è soggetto a un piccolo errore di arrotondamento.
Come funziona questo calcolo
Il determinante viene calcolato con l'eliminazione frazione-libera di Bareiss, di costo O(n³): a ogni passo l'elemento in posizione (i, j) diventa (m[i][j] × m[k][k] − m[i][k] × m[k][j]) / pivot precedente, e ogni divisione è esatta. Ogni scambio di righe inverte il segno. Su matrici di soli interi il calcolo usa aritmetica a precisione arbitraria. L'inversa si ottiene riducendo [A | I] a forma ridotta di Gauss-Jordan: quando la parte sinistra diventa l'identità, la destra è A⁻¹.
Calcoli collegati
Matrici e vettori
Somma, prodotto, determinante, trasposta, prodotto scalare e modulo tra matrici e vettori.
Sistemi lineari
Risoluzione con Gauss-Jordan: soluzione unica, infinite soluzioni o sistema impossibile.
Autovalori e autovettori
Polinomio caratteristico, autovalori reali e complessi, autovettori e traccia.
Calcolo vettoriale
Prodotto scalare e vettoriale, angolo fra due vettori, proiezione e aree.