Kalkulator wyznacznika i macierzy odwrotnej

Do czego służy wyznacznik

Wyznacznik to liczba przypisana macierzy kwadratowej, streszczająca jej rozstrzygającą własność: jeśli wynosi zero, macierz jest osobliwa, czyli jej wiersze (lub kolumny) są liniowo zależne, a przekształcenie, które reprezentuje, spłaszcza przestrzeń do niższego wymiaru. Jeśli jest różny od zera, macierz jest odwracalna, powiązany układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie, a przekształcenie jest odwracalne.

Geometrycznie wartość bezwzględna wyznacznika to współczynnik skali objętości: macierz 2 × 2 o wyznaczniku 3 przekształca kwadrat o polu 1 w równoległobok o polu 3. Znak mówi, czy orientacja zostaje zachowana, czy odwrócona. Zerowy wyznacznik oznacza, że pole albo objętość zostają zniwelowane — a to właśnie geometryczny obraz liniowej zależności.

Rozwinięcie Laplace'a według dopełnień algebraicznych, którego uczy się w szkole, ma koszt silniowy i staje się niewykonalne powyżej macierzy 9 × 9. Ten kalkulator stosuje eliminację Bareissa, odmianę eliminacji Gaussa, w której wszystkie dzielenia pośrednie pozostają dokładne: dla macierzy złożonej wyłącznie z liczb całkowitych wyznacznik liczony jest w arytmetyce o dowolnej precyzji, a wynik jest dokładny, bez błędów zaokrągleń typowych dla obliczeń zmiennoprzecinkowych.

Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera, i wyznacza się ją, sprowadzając macierz zestawioną z jednostkową do postaci zredukowanej: te same operacje elementarne stosuje się do obu, aż pierwsza stanie się macierzą jednostkową — wtedy druga jest macierzą odwrotną. Rząd, pokazany obok wyznacznika, mówi, ile wierszy jest naprawdę niezależnych: dla odwracalnej macierzy n × n wynosi dokładnie n.

Częste błędy

Liczenie wyznacznika macierzy niekwadratowej: takie działanie nie jest określone, potrzeba tylu wierszy, ile kolumn.
Traktowanie reguły Sarrusa jako metody ogólnej: działa wyłącznie dla macierzy 3 × 3 i przy większych wymiarach daje błędne wyniki.
Zapominanie, że zamiana wierszy zmienia znak wyznacznika, podczas gdy dodanie do wiersza wielokrotności innego pozostawia go bez zmian.
Zakładanie, że wyznacznik sumy to suma wyznaczników: tak nie jest. Prawdziwe jest natomiast det(AB) = det(A) × det(B).
Uznawanie za odwracalną macierzy o bardzo małym, lecz niezerowym wyznaczniku: formalnie jest odwracalna, ale źle uwarunkowana, a jej odwrotność wzmacnia każdy błąd w danych.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć wyznacznik macierzy 2 × 2?

Mnoży się elementy głównej przekątnej i odejmuje iloczyn drugiej przekątnej: dla [[a, b], [c, d]] wyznacznik wynosi ad − bc. Dla macierzy 3 × 3 można użyć reguły Sarrusa, a przy większych wymiarach lepiej sprawdza się eliminacja Gaussa.

Co oznacza zerowy wyznacznik?

Że macierz jest osobliwa: jej wiersze są liniowo zależne, macierz odwrotna nie istnieje, a powiązany układ równań nie ma jednoznacznego rozwiązania. Geometrycznie przekształcenie obniża wymiar przestrzeni, zerując pola lub objętości.

Kiedy istnieje macierz odwrotna?

Tylko dla macierzy kwadratowych o wyznaczniku różnym od zera. W takim przypadku odwrotność jest jedyna i spełnia A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I, gdzie I to macierz jednostkowa tego samego stopnia.

Jaki jest związek wyznacznika z rzędem?

Dla macierzy n × n wyznacznik jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy rząd wynosi n, czyli gdy wszystkie wiersze są niezależne. Niższy rząd zawsze oznacza zerowy wyznacznik i wskazuje, ile wierszy jest faktycznie niezależnych.

Czy wynik jest dokładny, czy przybliżony?

Jeśli wszystkie elementy są liczbami całkowitymi, wyznacznik liczony jest w arytmetyce dokładnej o dowolnej precyzji, więc jest dokładny. Przy elementach dziesiętnych obliczenie odbywa się zmiennoprzecinkowo i wynik obarczony jest niewielkim błędem zaokrąglenia.

Jak działa to obliczenie

Wyznacznik liczony jest bezułamkową eliminacją Bareissa o koszcie O(n³): w każdym kroku element na pozycji (i, j) staje się (m[i][j] × m[k][k] − m[i][k] × m[k][j]) / poprzedni element główny, a każde dzielenie jest dokładne. Każda zamiana wierszy odwraca znak. Dla macierzy złożonych z liczb całkowitych obliczenie korzysta z arytmetyki o dowolnej precyzji. Macierz odwrotną otrzymuje się, sprowadzając [A | I] do zredukowanej postaci schodkowej metodą Gaussa-Jordana: gdy lewa część staje się macierzą jednostkową, prawa jest równa A⁻¹.

Macierze i wektory

Suma, iloczyn, wyznacznik, transpozycja, iloczyn skalarny i długość macierzy oraz wektorów.

Układy równań liniowych

Rozwiązanie metodą Gaussa-Jordana: jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele albo układ sprzeczny.

Wartości i wektory własne

Wielomian charakterystyczny, rzeczywiste i zespolone wartości własne, wektory własne oraz ślad.

Rachunek wektorowy

Iloczyn skalarny i wektorowy, kąt między wektorami, rzut i pola.