Algebra lineare
Calcolatrice di autovalori e autovettori
Inserisci una matrice quadrata e ottieni il polinomio caratteristico, gli autovalori — reali o complessi — e gli autovettori associati.
Che cosa sono autovalori e autovettori
Un autovettore di una matrice A è un vettore non nullo che la trasformazione si limita a dilatare o comprimere, senza cambiarne la direzione: A v = λ v. Il numero λ è l'autovalore associato e dice di quanto quel vettore viene scalato. Un autovalore negativo indica che la direzione viene anche ribaltata, uno pari a 1 che quel vettore resta esattamente dov'è.
Gli autovalori si trovano annullando il determinante di A − λI: si ottiene il polinomio caratteristico, di grado pari all'ordine della matrice, e le sue radici sono gli autovalori. Una matrice n × n ha sempre n autovalori contati con la loro molteplicità, ma possono essere complessi anche quando la matrice è fatta di soli numeri reali: la rotazione di 90 gradi nel piano, per esempio, non lascia invariata alcuna direzione reale e ha autovalori ±i.
Trovato un autovalore λ, i suoi autovettori sono le soluzioni non nulle del sistema omogeneo (A − λI) v = 0, cioè il nucleo di quella matrice. Poiché il sistema è omogeneo, se v è autovettore lo è anche qualunque suo multiplo: la calcolatrice normalizza ogni vettore in modo che la componente più grande valga 1, così due esecuzioni restituiscono sempre la stessa rappresentazione.
Due controlli rapidi permettono di verificare il risultato a mano: la somma degli autovalori è uguale alla traccia della matrice, cioè alla somma degli elementi sulla diagonale principale, e il loro prodotto è uguale al determinante. Per la matrice [[4, 1], [2, 3]] gli autovalori sono 5 e 2: la loro somma fa 7, che è 4 + 3, e il loro prodotto fa 10, che è il determinante.
Errori comuni
- Accettare il vettore nullo come autovettore: soddisfa l'equazione per qualsiasi λ e per questo è escluso per definizione.
- Dare per scontato che gli autovalori di una matrice reale siano reali: lo sono garantiti solo per le matrici simmetriche, non in generale.
- Confondere molteplicità algebrica e geometrica: un autovalore doppio non ha necessariamente due autovettori indipendenti, e quando non li ha la matrice non è diagonalizzabile.
- Considerare due autovettori diversi solo perché scritti con scale differenti: (1, 2) e (2, 4) individuano la stessa direzione e lo stesso autospazio.
- Cercare gli autovalori di una matrice non quadrata: la definizione non si applica, e per quel caso servono i valori singolari.
Domande frequenti
Come si calcolano gli autovalori di una matrice?
Si risolve det(A − λI) = 0, cioè si annulla il polinomio caratteristico. Per una matrice 2 × 2 si arriva a λ² − (traccia)λ + determinante = 0, un'equazione di secondo grado; per ordini superiori serve un metodo numerico.
Una matrice reale può avere autovalori complessi?
Sì, e compaiono sempre in coppie coniugate. È il caso delle matrici di rotazione: la rotazione di 90 gradi nel piano non lascia invariata nessuna direzione reale, e i suoi autovalori sono i e −i. Le matrici simmetriche fanno eccezione: i loro autovalori sono sempre reali.
Perché il mio autovettore è diverso da quello del libro?
Un autovettore è definito a meno di un fattore moltiplicativo: se v è autovettore lo è anche 2v o −v. Questa pagina normalizza la componente di modulo maggiore a 1, mentre altri testi normalizzano la lunghezza a 1 o lasciano interi i valori.
Che rapporto c'è fra autovalori, traccia e determinante?
La somma degli autovalori è uguale alla traccia della matrice e il loro prodotto è uguale al determinante. Sono due verifiche rapide e affidabili: se non tornano, c'è un errore nel calcolo o nell'inserimento dei dati.
Quando una matrice è diagonalizzabile?
Quando i suoi autovettori indipendenti sono tanti quanto l'ordine della matrice, cioè quando per ogni autovalore la molteplicità geometrica coincide con quella algebrica. Le matrici simmetriche reali lo sono sempre, e con autovettori tra loro ortogonali.
Come funziona questo calcolo
Il polinomio caratteristico p(λ) = det(A − λI) viene costruito con il metodo di Faddeev-LeVerrier, che ricava i coefficienti dalle tracce di prodotti successivi senza espansione simbolica. Le sue radici — gli autovalori, reali o complessi — si ottengono con il metodo di Durand-Kerner, che approssima simultaneamente tutte le radici di un polinomio monico. Per ogni autovalore reale λ gli autovettori sono la base del nucleo di (A − λI), calcolata per eliminazione con una tolleranza adeguata al fatto che λ arriva da un metodo iterativo.
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