Algebra lineare
Calcolatrice matrici e vettori
Imposta dimensioni e valori delle matrici A e B, poi scegli un'operazione: il risultato si aggiorna subito e puoi riportarlo in A, in B o salvarlo nella cronologia.
A cosa servono le operazioni su matrici e vettori
Le operazioni su matrici e vettori sono alla base dell'algebra lineare: si usano per risolvere sistemi di equazioni, descrivere trasformazioni geometriche (rotazioni, scalature, proiezioni), elaborare immagini e segnali, e sono il linguaggio con cui sono scritti gran parte degli algoritmi di computer graphics e machine learning.
La somma e la sottrazione richiedono due matrici della stessa dimensione e agiscono elemento per elemento. Il prodotto matriciale, invece, è definito solo se il numero di colonne della prima matrice coincide con il numero di righe della seconda, e il risultato non è in generale commutativo: A × B è diverso da B × A anche quando entrambi i prodotti sono calcolabili.
Il determinante è definito solo per matrici quadrate e indica, tra le altre cose, se la matrice è invertibile: un determinante uguale a zero significa che il sistema lineare associato non ha soluzione unica. Il prodotto scalare e il modulo, invece, si applicano ai vettori (matrici con una sola riga o una sola colonna) e sono alla base del calcolo di angoli, proiezioni e distanze.
Errori comuni
- Confondere il prodotto matriciale con il prodotto elemento per elemento: A × B richiede che le colonne di A siano tante quante le righe di B, e il risultato ha le righe di A e le colonne di B.
- Dimenticare che il prodotto tra matrici non è commutativo: calcolare A × B invece di B × A può dare un risultato completamente diverso, o non essere nemmeno calcolabile.
- Provare a calcolare il determinante di una matrice non quadrata: l'operazione è definita solo quando il numero di righe coincide con il numero di colonne.
Domande frequenti
Qual è la differenza tra somma e prodotto di matrici?
La somma agisce elemento per elemento e richiede due matrici della stessa dimensione. Il prodotto combina righe della prima matrice con colonne della seconda: il numero di colonne di A deve coincidere con il numero di righe di B, e il risultato ha tante righe quante A e tante colonne quante B.
Come si calcola il determinante di una matrice 3×3 o più grande?
Questa calcolatrice usa lo sviluppo di Laplace lungo la prima colonna: il determinante si scompone ricorsivamente nei determinanti dei minori ottenuti eliminando una riga e una colonna alla volta, fino ad arrivare a matrici 2×2.
Cos'è il prodotto scalare tra due vettori?
È la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti di due vettori della stessa lunghezza, riga o colonna. Geometricamente è legato al coseno dell'angolo tra i due vettori: se il prodotto scalare è zero, i vettori sono ortogonali.
Posso salvare e riutilizzare le matrici che ho calcolato?
Sì: ogni matrice o risultato può essere salvato nella cronologia, memorizzata solo nel tuo browser senza bisogno di un account, e da lì ricaricato in A o in B. Puoi anche condividere un link con le matrici A e B già precompilate.
Come funzionano queste operazioni
Somma e sottrazione: (A ± B)[i,j] = A[i,j] ± B[i,j], definite se A e B hanno le stesse dimensioni. Prodotto: (A × B)[i,j] = Σₖ A[i,k] × B[k,j], definito se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Trasposta: Aᵀ[i,j] = A[j,i]. Determinante, per sviluppo di Laplace lungo la prima colonna: det(A) = Σᵢ (−1)ⁱ × A[i,0] × det(minoreᵢ), con caso base det di una matrice 2×2 = A[0,0]×A[1,1] − A[1,0]×A[0,1]. Prodotto scalare tra vettori: a · b = Σᵢ aᵢ × bᵢ. Modulo di un vettore: |a| = √(Σᵢ aᵢ²).
Calcoli collegati
Determinante e inversa
Determinante, rango e matrice inversa di una matrice quadrata fino a 12 × 12.
Sistemi lineari
Risoluzione con Gauss-Jordan: soluzione unica, infinite soluzioni o sistema impossibile.
Autovalori e autovettori
Polinomio caratteristico, autovalori reali e complessi, autovettori e traccia.
Calcolo vettoriale
Prodotto scalare e vettoriale, angolo fra due vettori, proiezione e aree.