Rechner für Determinante und inverse Matrix

Wozu die Determinante dient

Die Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist und eine entscheidende Eigenschaft zusammenfasst: Ist sie null, ist die Matrix singulär, ihre Zeilen (oder Spalten) sind also linear abhängig und die zugehörige Abbildung drückt den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammen. Ist sie ungleich null, ist die Matrix invertierbar, das zugehörige lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung und die Abbildung ist umkehrbar.

Geometrisch ist der Betrag der Determinante der Skalierungsfaktor für Volumina: Eine 2 × 2-Matrix mit Determinante 3 macht aus einem Quadrat der Fläche 1 ein Parallelogramm der Fläche 3. Das Vorzeichen zeigt an, ob die Orientierung erhalten bleibt oder umgekehrt wird. Eine Determinante von null bedeutet, dass Fläche oder Volumen verschwinden — genau das geometrische Bild linearer Abhängigkeit.

Die Berechnung über Kofaktoren, wie sie im Unterricht gelehrt wird, hat fakultativen Aufwand und wird jenseits von 9 × 9-Matrizen unpraktikabel. Dieser Rechner verwendet die Bareiss-Elimination, eine Variante des Gauß-Verfahrens, die alle Zwischendivisionen exakt hält: Bei einer Matrix aus lauter ganzen Zahlen wird die Determinante in beliebig genauer Arithmetik berechnet und das Ergebnis ist exakt, ohne die für Gleitkommarechnung typischen Rundungsfehler.

Die Inverse existiert nur, wenn die Determinante ungleich null ist, und wird ermittelt, indem man die Matrix neben der Einheitsmatrix reduziert: Dieselben elementaren Umformungen werden auf beide angewandt, bis die erste zur Einheitsmatrix wird — dann ist die zweite die Inverse. Der neben der Determinante angezeigte Rang sagt, wie viele Zeilen tatsächlich unabhängig sind: Bei einer invertierbaren n × n-Matrix ist er genau n.

Häufige Fehler

Die Determinante einer nicht quadratischen Matrix berechnen: Die Operation ist nicht definiert, es braucht ebenso viele Zeilen wie Spalten.
Die Regel von Sarrus für ein allgemeines Verfahren halten: Sie gilt nur für 3 × 3-Matrizen und liefert bei größeren Formaten falsche Ergebnisse.
Vergessen, dass ein Zeilentausch das Vorzeichen der Determinante umkehrt, während das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen sie unverändert lässt.
Annehmen, die Determinante einer Summe sei die Summe der Determinanten: Sie ist es nicht. Richtig ist dagegen det(AB) = det(A) × det(B).
Eine Matrix mit sehr kleiner, aber nicht verschwindender Determinante als sicher invertierbar ansehen: Sie ist formal invertierbar, aber schlecht konditioniert, und die Inverse verstärkt jeden Datenfehler.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Determinante einer 2 × 2-Matrix?

Man multipliziert die Elemente der Hauptdiagonale und subtrahiert das Produkt der Nebendiagonale: Für [[a, b], [c, d]] ist die Determinante ad − bc. Für 3 × 3-Matrizen lässt sich die Regel von Sarrus verwenden, darüber hinaus ist die Gauß-Elimination der praktikable Weg.

Was bedeutet eine Determinante von null?

Dass die Matrix singulär ist: Die Zeilen sind linear abhängig, es existiert keine Inverse, und das zugehörige lineare Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung. Geometrisch verringert die Abbildung die Dimension des Raums und lässt Flächen oder Volumina verschwinden.

Wann existiert die inverse Matrix?

Nur bei quadratischen Matrizen mit Determinante ungleich null. In diesem Fall ist die Inverse eindeutig und erfüllt A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I, wobei I die Einheitsmatrix gleicher Ordnung ist.

Wie hängen Determinante und Rang zusammen?

Bei einer n × n-Matrix ist die Determinante genau dann ungleich null, wenn der Rang n beträgt, also alle Zeilen unabhängig sind. Ein niedrigerer Rang bedeutet stets eine Determinante von null und gibt an, wie viele Zeilen tatsächlich unabhängig sind.

Ist das Ergebnis exakt oder genähert?

Sind alle Einträge ganze Zahlen, wird die Determinante in exakter, beliebig genauer Arithmetik berechnet und ist damit exakt. Bei Dezimaleinträgen erfolgt die Rechnung in Gleitkomma und das Ergebnis trägt einen kleinen Rundungsfehler.

So funktioniert diese Berechnung

Die Determinante wird mit der bruchfreien Bareiss-Elimination in O(n³) berechnet: In jedem Schritt wird der Eintrag an Position (i, j) zu (m[i][j] × m[k][k] − m[i][k] × m[k][j]) geteilt durch das vorherige Pivotelement, und jede Division ist exakt. Jeder Zeilentausch kehrt das Vorzeichen um. Bei Matrizen aus lauter ganzen Zahlen wird beliebig genaue Arithmetik verwendet. Die Inverse ergibt sich aus der Reduktion von [A | I] auf reduzierte Zeilenstufenform: Sobald die linke Hälfte zur Einheitsmatrix wird, ist die rechte A⁻¹.

Matrizen und Vektoren

Summe, Produkt, Determinante, Transponierte, Skalarprodukt und Betrag von Matrizen und Vektoren.

Lineare Gleichungssysteme

Gauß-Jordan-Verfahren: eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Charakteristisches Polynom, reelle und komplexe Eigenwerte, Eigenvektoren und Spur.

Vektorrechnung

Skalar- und Kreuzprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren, Projektion und Flächen.