Álgebra lineal
Calculadora del determinante y de la matriz inversa
Introduce una matriz cuadrada y obtén el determinante, el rango y la matriz inversa, con la comprobación inmediata de la invertibilidad.
Para qué sirve el determinante
El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada que resume una propiedad decisiva: si vale cero la matriz es singular, es decir sus filas (o columnas) son linealmente dependientes y la transformación que representa aplasta el espacio sobre una dimensión inferior. Si es distinto de cero la matriz es invertible, el sistema lineal asociado tiene solución única y la transformación es reversible.
Geométricamente el valor absoluto del determinante es el factor de escala de los volúmenes: una matriz 2 × 2 con determinante 3 transforma un cuadrado de área 1 en un paralelogramo de área 3. El signo indica si la orientación se conserva o se invierte. Un determinante nulo significa que el área o el volumen se anulan, que es exactamente la imagen geométrica de la dependencia lineal.
El cálculo por cofactores, el que se aprende en clase, tiene coste factorial y resulta impracticable más allá de las matrices 9 × 9. Esta calculadora usa la eliminación de Bareiss, una variante de la eliminación de Gauss que mantiene exactas todas las divisiones intermedias: en una matriz de números enteros el determinante se calcula en aritmética de precisión arbitraria y el resultado es exacto, sin los errores de redondeo propios del cálculo en coma flotante.
La inversa existe solo cuando el determinante es distinto de cero, y se obtiene reduciendo la matriz junto a la identidad: se aplican las mismas operaciones elementales a ambas hasta que la primera se convierte en la identidad, momento en el que la segunda es la inversa. El rango, mostrado junto al determinante, indica cuántas filas son realmente independientes: para una matriz n × n invertible vale exactamente n.
Errores frecuentes
- Calcular el determinante de una matriz no cuadrada: la operación no está definida, hacen falta tantas filas como columnas.
- Confundir la regla de Sarrus con un método general: solo funciona para matrices 3 × 3 y da resultados erróneos en dimensiones superiores.
- Olvidar que un intercambio de filas cambia el signo del determinante, mientras que sumar a una fila un múltiplo de otra lo deja invariable.
- Suponer que el determinante de una suma es la suma de los determinantes: no lo es. En cambio sí es cierto que det(AB) = det(A) × det(B).
- Considerar invertible una matriz con determinante muy pequeño pero no nulo: es formalmente invertible, pero está mal condicionada, y la inversa amplifica cualquier error en los datos.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 2 × 2?
Se multiplican los elementos de la diagonal principal y se resta el producto de la otra diagonal: para [[a, b], [c, d]] el determinante es ad − bc. Para las 3 × 3 puede usarse la regla de Sarrus, y más allá conviene la eliminación de Gauss.
¿Qué significa que el determinante sea cero?
Que la matriz es singular: las filas son linealmente dependientes, no existe la inversa y el sistema lineal asociado no tiene solución única. Geométricamente la transformación reduce las dimensiones del espacio, anulando áreas o volúmenes.
¿Cuándo existe la matriz inversa?
Solo para matrices cuadradas con determinante distinto de cero. En ese caso la inversa es única y cumple A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I, donde I es la matriz identidad del mismo orden.
¿Qué relación hay entre determinante y rango?
Para una matriz n × n el determinante es distinto de cero si y solo si el rango vale n, es decir si todas las filas son independientes. Un rango inferior implica siempre determinante nulo, e indica cuántas filas son realmente independientes.
¿El resultado es exacto o aproximado?
Si todos los elementos son números enteros el determinante se calcula en aritmética exacta de precisión arbitraria, así que es exacto. Con elementos decimales el cálculo se hace en coma flotante y el resultado tiene un pequeño error de redondeo.
Cómo funciona este cálculo
El determinante se calcula con la eliminación libre de fracciones de Bareiss, de coste O(n³): en cada paso el elemento en la posición (i, j) pasa a ser (m[i][j] × m[k][k] − m[i][k] × m[k][j]) dividido por el pivote anterior, y toda división es exacta. Cada intercambio de filas invierte el signo. En matrices de solo enteros el cálculo usa aritmética de precisión arbitraria. La inversa se obtiene reduciendo [A | I] a la forma escalonada reducida de Gauss-Jordan: cuando la parte izquierda se convierte en la identidad, la derecha es A⁻¹.
Cálculos relacionados
Matrices y vectores
Suma, producto, determinante, transpuesta, producto escalar y módulo entre matrices y vectores.
Sistemas de ecuaciones lineales
Método de Gauss-Jordan: solución única, infinitas soluciones o sistema incompatible.
Autovalores y autovectores
Polinomio característico, autovalores reales y complejos, autovectores y traza.
Cálculo vectorial
Producto escalar y vectorial, ángulo entre dos vectores, proyección y áreas.