Calcolatrice di sistemi di equazioni lineari

Il metodo di Gauss-Jordan trasforma il sistema in uno equivalente, che ha cioè le stesse soluzioni, ma la cui risposta si legge direttamente. Si opera sulla matrice completa — coefficienti più termini noti — con tre sole mosse lecite: scambiare due righe, moltiplicare una riga per un numero diverso da zero, sommare a una riga un multiplo di un'altra. Al termine ogni pivot vale 1 ed è l'unico elemento non nullo della sua colonna.

La classificazione segue il teorema di Rouché-Capelli, che confronta due ranghi: quello della matrice dei coefficienti e quello della matrice completa. Se il secondo è maggiore del primo, l'eliminazione ha prodotto una riga del tipo 0 = c con c diverso da zero, cioè una contraddizione, e il sistema è impossibile. Se i due ranghi coincidono ci sono soluzioni: una sola quando il rango eguaglia il numero di incognite, infinite quando è inferiore.

Nel caso indeterminato le incognite si dividono in due gruppi. Quelle corrispondenti a una colonna pivot sono determinate dalle altre; le restanti sono libere e possono assumere qualsiasi valore. La soluzione generale si scrive allora come una soluzione particolare più una combinazione lineare delle direzioni libere, una per ogni incognita libera: è la stessa struttura che in geometria descrive una retta o un piano di soluzioni.

Il calcolo usa il pivoting parziale: a ogni passo si sceglie come pivot l'elemento di modulo maggiore nella colonna, non semplicemente il primo diverso da zero. Non è un dettaglio di efficienza ma di affidabilità: un pivot molto piccolo amplificherebbe ogni errore di arrotondamento commesso dopo, ed è così che un sistema perfettamente risolvibile finisce per sembrare impossibile.