Algèbre linéaire
Calculatrice du déterminant et de la matrice inverse
Saisissez une matrice carrée et obtenez son déterminant, son rang et sa matrice inverse, avec la vérification immédiate de l'inversibilité.
À quoi sert le déterminant
Le déterminant est un nombre associé à une matrice carrée qui en résume une propriété décisive : s'il vaut zéro, la matrice est singulière, c'est-à-dire que ses lignes (ou ses colonnes) sont linéairement dépendantes et que la transformation qu'elle représente écrase l'espace sur une dimension inférieure. S'il est différent de zéro, la matrice est inversible, le système linéaire associé a une solution unique et la transformation est réversible.
Géométriquement, la valeur absolue du déterminant est le facteur d'échelle des volumes : une matrice 2 × 2 de déterminant 3 transforme un carré d'aire 1 en un parallélogramme d'aire 3. Le signe indique si l'orientation est conservée ou renversée. Un déterminant nul signifie que l'aire ou le volume s'annulent, ce qui est exactement l'image géométrique de la dépendance linéaire.
Le calcul par cofacteurs, celui que l'on apprend sur les bancs de l'école, a un coût factoriel et devient impraticable au-delà des matrices 9 × 9. Cette calculatrice emploie l'élimination de Bareiss, une variante de l'élimination de Gauss qui garde exactes toutes les divisions intermédiaires : sur une matrice d'entiers, le déterminant est calculé en arithmétique à précision arbitraire et le résultat est exact, sans les erreurs d'arrondi propres au calcul en virgule flottante.
L'inverse n'existe que lorsque le déterminant est différent de zéro, et s'obtient en réduisant la matrice accolée à l'identité : on applique les mêmes opérations élémentaires aux deux jusqu'à ce que la première devienne l'identité, et à ce moment la seconde est l'inverse. Le rang, affiché à côté du déterminant, dit combien de lignes sont réellement indépendantes : pour une matrice n × n inversible, il vaut exactement n.
Erreurs fréquentes
- Calculer le déterminant d'une matrice non carrée : l'opération n'est pas définie, il faut autant de lignes que de colonnes.
- Prendre la règle de Sarrus pour une méthode générale : elle ne vaut que pour les matrices 3 × 3 et donne des résultats faux au-delà.
- Oublier qu'un échange de lignes change le signe du déterminant, alors qu'ajouter à une ligne un multiple d'une autre le laisse inchangé.
- Supposer que le déterminant d'une somme est la somme des déterminants : il ne l'est pas. En revanche, il est vrai que det(AB) = det(A) × det(B).
- Considérer comme inversible une matrice de déterminant très petit mais non nul : elle l'est formellement, mais elle est mal conditionnée, et son inverse amplifie la moindre erreur sur les données.
Questions fréquentes
Comment calculer le déterminant d'une matrice 2 × 2 ?
On multiplie les éléments de la diagonale principale et on retranche le produit de l'autre diagonale : pour [[a, b], [c, d]], le déterminant vaut ad − bc. Pour les 3 × 3 on peut employer la règle de Sarrus, tandis qu'au-delà l'élimination de Gauss est préférable.
Que signifie un déterminant nul ?
Que la matrice est singulière : ses lignes sont linéairement dépendantes, l'inverse n'existe pas et le système linéaire associé n'a pas de solution unique. Géométriquement, la transformation réduit les dimensions de l'espace, annulant aires ou volumes.
Quand la matrice inverse existe-t-elle ?
Uniquement pour les matrices carrées de déterminant non nul. Dans ce cas l'inverse est unique et vérifie A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I, où I est la matrice identité du même ordre.
Quel rapport entre déterminant et rang ?
Pour une matrice n × n, le déterminant est différent de zéro si et seulement si le rang vaut n, c'est-à-dire si toutes les lignes sont indépendantes. Un rang inférieur implique toujours un déterminant nul, et indique combien de lignes sont effectivement indépendantes.
Le résultat est-il exact ou approché ?
Si tous les éléments sont des entiers, le déterminant est calculé en arithmétique exacte à précision arbitraire : il est donc exact. Avec des éléments décimaux, le calcul se fait en virgule flottante et le résultat est sujet à une petite erreur d'arrondi.
Comment fonctionne ce calcul
Le déterminant est calculé par l'élimination sans fraction de Bareiss, de coût O(n³) : à chaque étape, l'élément en position (i, j) devient (m[i][j] × m[k][k] − m[i][k] × m[k][j]) / pivot précédent, et chaque division est exacte. Tout échange de lignes inverse le signe. Sur des matrices d'entiers, le calcul emploie l'arithmétique à précision arbitraire. L'inverse s'obtient en réduisant [A | I] sous forme échelonnée réduite de Gauss-Jordan : lorsque la partie gauche devient l'identité, la partie droite est A⁻¹.
Calculs liés
Matrices et vecteurs
Somme, produit, déterminant, transposée, produit scalaire et norme entre matrices et vecteurs.
Systèmes d'équations linéaires
Résolution par Gauss-Jordan : solution unique, infinité de solutions ou système impossible.
Valeurs et vecteurs propres
Polynôme caractéristique, valeurs propres réelles et complexes, vecteurs propres et trace.
Calcul vectoriel
Produits scalaire et vectoriel, angle entre deux vecteurs, projection et aires.