Analytische Geometrie
Kegelschnitte aus der Gleichung bestimmen
Geben Sie die sechs Koeffizienten von Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 ein: der Rechner erkennt, um welchen Kegelschnitt es sich handelt, und ermittelt Mittelpunkt oder Scheitel, Brennpunkte, Achsen, Exzentrizität, Asymptoten und Normalform — und zeichnet ihn maßstabsgetreu.
Einen Kegelschnitt an seiner Gleichung erkennen
Jede Gleichung zweiten Grades in zwei Unbekannten beschreibt einen Kegelschnitt, und welchen, sagt eine einzige Zahl: die Diskriminante B² − 4AC. Ist sie negativ, ist die Kurve geschlossen — eine Ellipse, oder ein Kreis, wenn A = C und B = 0; ist sie null, ist es eine Parabel; ist sie positiv, eine Hyperbel. Das ist der erste Schritt jeder Aufgabe über Kegelschnitte und gelingt im Kopf, bevor irgendeine andere Formel angerührt wird.
Die zweite Zahl ist die Determinante der 3×3-Matrix der Koeffizienten. Verschwindet sie, zerfällt das Polynom und der Kegelschnitt entartet: statt einer Ellipse bleibt nur der Mittelpunkt, statt einer Hyperbel die beiden Geraden, die ihre Asymptoten waren, statt einer Parabel zwei parallele Geraden. Das sind berechtigte Fälle, die man erkennen und nicht für gequetschte Kurven halten sollte.
Ist die Art bestimmt, folgt der Rest aus der Normalform, also aus der Gleichung auf den Achsen des Kegelschnitts selbst. Bei einem Mittelpunktskegelschnitt sucht man zuerst den Mittelpunkt — den Punkt, in dem beide partiellen Ableitungen verschwinden — und verschiebt die Achsen dorthin; gibt es einen xy-Term, dreht man sie zusätzlich, um einen Winkel aus tan 2θ = B/(A − C). Auf diesen Achsen stehen nur noch die Quadrate, und Halbachsen, Brennpunkte und Exzentrizität lassen sich unmittelbar ablesen.
Häufige Fehler
- Beim Umstellen ein Vorzeichen vergessen: aus y = x² − 4x + 3 wird x² − 4x − y + 3 = 0, mit E = −1 und nicht +1.
- Die große Halbachse für diejenige zu halten, die bei x² steht: in x²/9 + y²/25 = 1 ist die große Halbachse 5 und liegt auf der y-Achse, nicht 3.
- Die Brennpunkte einer Parabel auf der falschen Achse suchen: eine Parabel hat einen Brennpunkt, auf ihrer eigenen Symmetrieachse, und die Leitlinie liegt im gleichen Abstand auf der anderen Seite des Scheitels.
- Annehmen, die Exzentrizität einer Hyperbel liege zwischen 0 und 1: sie ist stets größer als 1, und die Ellipse ist es, die e < 1 hat.
Häufige Fragen
Wie unterscheidet man Ellipse, Parabel und Hyperbel auf einen Blick?
Am Vorzeichen von B² − 4AC. Negativ: Ellipse oder Kreis. Null: Parabel. Positiv: Hyperbel. Dafür braucht es weder den Mittelpunkt noch eine Drehung, und deshalb steht es immer am Anfang.
Was heißt es, dass ein Kegelschnitt entartet ist?
Dass das Polynom zweiten Grades zerfällt, sodass die Menge seiner Nullstellen keine Kurve mehr ist, sondern ein Punkt, ein Geradenpaar oder die leere Menge. Erkennbar an der Determinante der 3×3-Matrix der Koeffizienten: ist sie null, ist der Kegelschnitt entartet.
Wozu dient der xy-Term?
Er neigt den Kegelschnitt gegen die Koordinatenachsen. Ohne ihn sind die Achsen der Kurve parallel zu denen der Ebene; mit ihm bilden sie einen Winkel θ aus tan 2θ = B/(A − C). Das einfachste Beispiel ist xy = 1, eine um 45° gedrehte gleichseitige Hyperbel.
Warum ist die Exzentrizität eines Kreises null?
Weil die Exzentrizität misst, wie weit eine Ellipse von der Kreisform abweicht: sie ist c/a, wobei c der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt ist. Im Kreis fallen beide Brennpunkte mit dem Mittelpunkt zusammen, also c = 0 und e = 0. Für die Ellipse 0 < e < 1, für die Parabel e = 1, für die Hyperbel e > 1.
Hat die Ellipse auch Asymptoten?
Nein: Asymptoten sind Geraden, denen sich eine Kurve unbegrenzt nähert, ohne sie zu treffen, und nur die Hyperbel hat sie. Die Ellipse ist beschränkt, sie passt ganz in ein Rechteck mit den Seiten 2a und 2b und nähert sich keiner Geraden.
Wie diese Rechnung funktioniert
Aus der allgemeinen Form Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 bildet man die volle Matrix M mit den Zeilen (A, B/2, D/2), (B/2, C, E/2), (D/2, E/2, F) und ihre Untermatrix A₃₃ aus den ersten beiden Zeilen und Spalten. Das Vorzeichen von det A₃₃, also von −(B² − 4AC)/4, gibt die Art; det M = 0 gibt die Entartung. Bei einem Mittelpunktskegelschnitt löst der Mittelpunkt 2Ax + By + D = 0 und Bx + 2Cy + E = 0, die Eigenwerte λ₁ und λ₂ von A₃₃ sind die Koeffizienten der Quadrate in der Normalform λ₁X² + λ₂Y² + det M/det A₃₃ = 0, und die quadrierten Halbachsen sind −(det M/det A₃₃)/λ. Der Drehwinkel ist das halbe Argument von (A − C, B). Bei der Parabel ist ein Eigenwert null: man dreht, ergänzt in der anderen Variablen quadratisch und erhält X² = 4pY, mit p als Abstand zwischen Scheitel und Brennpunkt.
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