Geometria analityczna

Krzywe stożkowe z równania

Wpisz sześć współczynników równania Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0: kalkulator rozpozna, z jaką krzywą masz do czynienia, i wyznaczy środek lub wierzchołek, ogniska, osie, mimośród, asymptoty i postać kanoniczną, rysując ją w skali.

Jak rozpoznać krzywą z jej równania

Każde równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi opisuje krzywą stożkową, a która to jest, mówi jedna liczba: wyróżnik B² − 4AC. Ujemny — krzywa jest zamknięta: elipsa albo okrąg, gdy A = C i B = 0; zerowy — parabola; dodatni — hiperbola. To pierwszy krok każdego zadania o krzywych stożkowych i da się go zrobić w pamięci, zanim sięgnie się po jakikolwiek inny wzór.

Druga liczba to wyznacznik macierzy 3×3 współczynników. Gdy się zeruje, wielomian się rozkłada i krzywa degeneruje: zamiast elipsy zostaje sam środek, zamiast hiperboli dwie proste, które były jej asymptotami, zamiast paraboli dwie proste równoległe. To przypadki uprawnione, które trzeba rozpoznać, a nie brać za spłaszczone krzywe.

Gdy rodzaj jest znany, reszta wynika z postaci kanonicznej, czyli z równania zapisanego w osiach samej krzywej. Dla krzywej ze środkiem najpierw znajduje się środek — punkt, w którym znikają obie pochodne cząstkowe — i tam przesuwa się osie; jeśli występuje wyraz z xy, obraca się je dodatkowo o kąt dany przez tg 2θ = B/(A − C). W tych osiach w równaniu zostają tylko kwadraty, a półosie, ogniska i mimośród odczytuje się wprost.

Częste błędy

Przeniesienie równania do wymaganej postaci z pominięciem zmiany znaku: y = x² − 4x + 3 daje x² − 4x − y + 3 = 0, czyli E = −1, a nie +1.
Uznanie za półoś wielką tej, która mnoży x²: w x²/9 + y²/25 = 1 półoś wielka wynosi 5 i leży na osi y, a nie 3.
Szukanie ognisk paraboli na złej osi: parabola ma jedno ognisko, na własnej osi symetrii, a kierownica leży po drugiej stronie wierzchołka w tej samej odległości.
Założenie, że mimośród hiperboli mieści się między 0 a 1: jest zawsze większy od 1, a to elipsa ma e < 1.

Często zadawane pytania

Jak od razu odróżnić elipsę, parabolę i hiperbolę?

Po znaku B² − 4AC. Ujemny: elipsa lub okrąg. Zerowy: parabola. Dodatni: hiperbola. Nie trzeba do tego ani środka, ani obrotu — dlatego zawsze jest to pierwszy krok.

Co znaczy, że krzywa jest zdegenerowana?

Że wielomian drugiego stopnia się rozkłada, więc zbiór jego miejsc zerowych nie jest już krzywą, lecz punktem, parą prostych albo zbiorem pustym. Poznaje się to po wyznaczniku macierzy 3×3 współczynników: gdy jest zerowy, krzywa jest zdegenerowana.

Do czego służy wyraz z xy?

Nachyla krzywą względem osi układu. Bez niego osie krzywej są do nich równoległe; z nim tworzą kąt θ dany przez tg 2θ = B/(A − C). Najprostszy przykład to xy = 1, hiperbola równoosiowa obrócona o 45°.

Dlaczego mimośród okręgu wynosi zero?

Bo mimośród mierzy, jak bardzo elipsa odbiega od kształtu kołowego: to c/a, gdzie c jest odległością środka od ogniska. W okręgu oba ogniska pokrywają się ze środkiem, więc c = 0 i e = 0. Dla elipsy 0 < e < 1, dla paraboli e = 1, dla hiperboli e > 1.

Czy elipsa też ma asymptoty?

Nie: asymptoty to proste, do których krzywa zbliża się nieograniczenie, nigdy ich nie dotykając, i ma je tylko hiperbola. Elipsa jest ograniczona, mieści się w prostokącie o bokach 2a i 2b i do żadnej prostej się nie zbliża.

Jak działa to obliczenie

Z postaci ogólnej Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 buduje się macierz pełną M o wierszach (A, B/2, D/2), (B/2, C, E/2), (D/2, E/2, F) oraz jej podmacierz A₃₃ z dwóch pierwszych wierszy i kolumn. Znak det A₃₃, czyli −(B² − 4AC)/4, daje rodzaj; det M = 0 daje degenerację. Dla krzywej ze środkiem środek spełnia 2Ax + By + D = 0 oraz Bx + 2Cy + E = 0, wartości własne λ₁ i λ₂ macierzy A₃₃ są współczynnikami kwadratów w postaci kanonicznej λ₁X² + λ₂Y² + det M/det A₃₃ = 0, a kwadraty półosi wynoszą −(det M/det A₃₃)/λ. Kąt obrotu to połowa argumentu (A − C, B). Dla paraboli jedna wartość własna jest zerowa: obraca się układ, uzupełnia kwadrat w drugiej zmiennej i otrzymuje X² = 4pY, gdzie p to odległość wierzchołka od ogniska.

Prosta przez dwa punkty

Równanie prostej w postaci kierunkowej i ogólnej, współczynnik kierunkowy i punkty przecięcia.

Odległość i środek odcinka

Odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych i współrzędne środka odcinka.

Rachunek wektorowy

Iloczyn skalarny i wektorowy, kąt między wektorami, rzut i pola.