Géométrie analytique
Étude des coniques à partir de l'équation
Saisissez les six coefficients de Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 : la calculatrice reconnaît de quelle conique il s'agit et en tire centre ou sommet, foyers, axes, excentricité, asymptotes et forme canonique, en la traçant à l'échelle.
Reconnaître une conique à son équation
Toute équation du second degré à deux inconnues décrit une conique, et un seul nombre dit laquelle : le discriminant B² − 4AC. Négatif, la courbe est fermée — une ellipse, ou un cercle quand A = C et B = 0 ; nul, c'est une parabole ; positif, c'est une hyperbole. C'est la première étape de tout exercice sur les coniques, et elle se fait de tête avant de toucher à la moindre autre formule.
Le second nombre à regarder est le déterminant de la matrice 3×3 des coefficients. Quand il s'annule, le polynôme se factorise et la conique dégénère : à la place d'une ellipse il ne reste que le centre, à la place d'une hyperbole les deux droites qui en étaient les asymptotes, à la place d'une parabole deux droites parallèles. Ce sont des cas légitimes à reconnaître, non des courbes aplaties.
L'espèce trouvée, le reste découle de la forme canonique, c'est-à-dire de l'équation écrite en prenant pour axes ceux de la conique elle-même. Pour une conique à centre on cherche d'abord le centre — le point où les deux dérivées partielles s'annulent — et l'on y translate les axes ; s'il y a un terme en xy on les tourne aussi, d'un angle donné par tan 2θ = B/(A − C). Sur ces axes l'équation n'a plus que les carrés, et les demi-axes, les foyers et l'excentricité se lisent directement.
Erreurs fréquentes
- Ramener l'équation à la forme demandée en oubliant un changement de signe : y = x² − 4x + 3 devient x² − 4x − y + 3 = 0, avec E = −1 et non +1.
- Prendre pour demi-grand axe celui qui multiplie x² : dans x²/9 + y²/25 = 1 le demi-grand axe vaut 5 et se trouve sur l'axe des y, pas 3.
- Chercher les foyers d'une parabole sur le mauvais axe : la parabole n'a qu'un foyer, sur son propre axe de symétrie, et la directrice se trouve de l'autre côté du sommet à la même distance.
- Supposer que l'excentricité d'une hyperbole est comprise entre 0 et 1 : elle est toujours supérieure à 1, et c'est l'ellipse qui a e < 1.
Questions fréquentes
Comment distinguer d'un coup d'œil une ellipse, une parabole et une hyperbole ?
Par le signe de B² − 4AC. Négatif : ellipse ou cercle. Nul : parabole. Positif : hyperbole. Cela ne demande ni le centre ni aucune rotation, et c'est pourquoi c'est toujours la première étape.
Que veut dire qu'une conique est dégénérée ?
Que le polynôme du second degré se factorise, si bien que l'ensemble des points qui l'annulent n'est plus une courbe mais un point, un couple de droites ou l'ensemble vide. Cela se lit sur le déterminant de la matrice 3×3 des coefficients : quand il est nul, la conique est dégénérée.
À quoi sert le terme en xy ?
Il incline la conique par rapport aux axes du repère. Sans lui les axes de la courbe leur sont parallèles ; avec lui ils forment un angle θ donné par tan 2θ = B/(A − C). L'exemple le plus simple est xy = 1, une hyperbole équilatère tournée de 45°.
Pourquoi l'excentricité du cercle vaut-elle zéro ?
Parce que l'excentricité mesure l'écart de l'ellipse à la forme circulaire : elle vaut c/a, où c est la distance du centre à un foyer. Dans un cercle les deux foyers sont confondus avec le centre, donc c = 0 et e = 0. Pour l'ellipse 0 < e < 1, pour la parabole e = 1, pour l'hyperbole e > 1.
L'ellipse a-t-elle aussi des asymptotes ?
Non : les asymptotes sont des droites dont la courbe s'approche indéfiniment sans les atteindre, et seule l'hyperbole en a. L'ellipse est bornée, elle tient entière dans un rectangle de côtés 2a et 2b, et ne s'approche d'aucune droite.
Comment ce calcul fonctionne
À partir de la forme générale Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 on construit la matrice complète M, de lignes (A, B/2, D/2), (B/2, C, E/2), (D/2, E/2, F), et sa sous-matrice A₃₃ des deux premières lignes et colonnes. Le signe de det A₃₃, c'est-à-dire de −(B² − 4AC)/4, donne l'espèce ; det M = 0 donne la dégénérescence. Pour une conique à centre, le centre résout 2Ax + By + D = 0 et Bx + 2Cy + E = 0, les valeurs propres λ₁ et λ₂ de A₃₃ sont les coefficients des carrés dans la forme canonique λ₁X² + λ₂Y² + det M/det A₃₃ = 0, et les demi-axes au carré valent −(det M/det A₃₃)/λ. L'angle de rotation est la moitié de l'argument de (A − C, B). Pour la parabole une valeur propre est nulle : on tourne, on complète le carré sur l'autre variable et l'on obtient X² = 4pY, où p est la distance du sommet au foyer.
Calculs liés
Droite par deux points
Équation de la droite sous forme réduite et cartésienne, coefficient directeur et intersections.
Distance et milieu
Distance entre deux points du plan cartésien et coordonnées du milieu du segment.
Calcul vectoriel
Produits scalaire et vectoriel, angle entre deux vecteurs, projection et aires.