Geometria analítica
Cônicas a partir da equação
Informe os seis coeficientes de Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0: a calculadora identifica qual cônica é e encontra centro ou vértice, focos, eixos, excentricidade, assíntotas e forma canônica, desenhando-a em escala.
Reconhecer uma cônica pela equação
Toda equação do segundo grau em duas incógnitas descreve uma cônica, e um único número diz qual: o discriminante B² − 4AC. Negativo, a curva é fechada — uma elipse, ou uma circunferência quando A = C e B = 0; zero, é uma parábola; positivo, é uma hipérbole. É o primeiro passo de qualquer exercício de cônicas, e se faz de cabeça antes de tocar em qualquer outra fórmula.
O segundo número a olhar é o determinante da matriz 3×3 dos coeficientes. Quando ele se anula, o polinômio se fatora e a cônica degenera: no lugar de uma elipse resta só o centro, no lugar de uma hipérbole as duas retas que eram as suas assíntotas, no lugar de uma parábola duas retas paralelas. São casos legítimos a reconhecer, não curvas achatadas por engano.
Conhecida a espécie, o resto sai da forma canônica, a equação escrita nos eixos próprios da cônica. Para uma cônica com centro, o centro vem primeiro — o ponto em que as duas derivadas parciais se anulam — e os eixos são levados até ele; se o termo xy estiver presente, eles também são girados, de um ângulo dado por tan 2θ = B/(A − C). Nesses eixos a equação tem só os quadrados, e semieixos, focos e excentricidade podem ser lidos diretamente.
Erros frequentes
- Passar para a forma pedida e esquecer um sinal: y = x² − 4x + 3 vira x² − 4x − y + 3 = 0, com E = −1 e não +1.
- Supor que o semieixo maior é o que multiplica x²: em x²/9 + y²/25 = 1 o semieixo maior é 5 e está no eixo y, não 3.
- Procurar os focos de uma parábola no eixo errado: a parábola tem um único foco, no seu eixo de simetria, e a diretriz fica do outro lado do vértice, à mesma distância.
- Supor que a excentricidade de uma hipérbole fica entre 0 e 1: ela é sempre maior que 1, e é a elipse que tem e < 1.
Perguntas frequentes
Como distinguir elipse, parábola e hipérbole de relance?
Pelo sinal de B² − 4AC. Negativo: elipse ou circunferência. Zero: parábola. Positivo: hipérbole. Não precisa nem do centro nem de rotação, e é por isso que é sempre o primeiro passo.
O que significa uma cônica ser degenerada?
Que o polinômio do segundo grau se fatora, então o conjunto de pontos que o satisfaz deixa de ser uma curva e passa a ser um ponto, um par de retas ou nada. Isso aparece no determinante da matriz 3×3 dos coeficientes: quando é zero, a cônica é degenerada.
Para que serve o termo xy?
Ele inclina a cônica em relação aos eixos coordenados. Sem ele os eixos da curva são paralelos aos do plano; com ele formam um ângulo θ dado por tan 2θ = B/(A − C). O exemplo mais simples é xy = 1, uma hipérbole equilátera girada de 45°.
Por que a excentricidade da circunferência é zero?
Porque a excentricidade mede o quanto uma elipse se afasta de ser circular: é c/a, em que c é a distância do centro a um foco. Na circunferência os dois focos ficam no centro, então c = 0 e e = 0. Na elipse 0 < e < 1, na parábola e = 1, na hipérbole e > 1.
As elipses também têm assíntotas?
Não: assíntotas são retas das quais uma curva se aproxima indefinidamente sem encontrá-las, e só a hipérbole as tem. A elipse é limitada, cabe inteira em um retângulo de lados 2a e 2b, e não se aproxima de nenhuma reta.
Como funciona este cálculo
A partir da forma geral Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 monta-se a matriz completa M, com linhas (A, B/2, D/2), (B/2, C, E/2), (D/2, E/2, F), e a sua submatriz A₃₃ das duas primeiras linhas e colunas. O sinal de det A₃₃, isto é, de −(B² − 4AC)/4, dá a espécie; det M = 0 dá a degeneração. Para uma cônica com centro, o centro resolve 2Ax + By + D = 0 e Bx + 2Cy + E = 0, os autovalores λ₁ e λ₂ de A₃₃ são os coeficientes dos quadrados na forma canônica λ₁X² + λ₂Y² + det M/det A₃₃ = 0, e os quadrados dos semieixos são −(det M/det A₃₃)/λ. O ângulo de rotação é metade do argumento de (A − C, B). Na parábola um autovalor é zero: gira-se, completa-se o quadrado na outra variável e chega-se a X² = 4pY, com p a distância vértice-foco.