Geometría analítica
Estudio de las cónicas a partir de la ecuación
Introduce los seis coeficientes de Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0: la calculadora reconoce de qué cónica se trata y obtiene centro o vértice, focos, ejes, excentricidad, asíntotas y forma canónica, dibujándola a escala.
Reconocer una cónica a partir de la ecuación
Toda ecuación de segundo grado en dos incógnitas describe una cónica, y cuál sea lo dice un solo número: el discriminante B² − 4AC. Si es negativo la curva es cerrada — una elipse, o una circunferencia cuando A = C y B = 0; si es nulo es una parábola; si es positivo es una hipérbola. Este es el primer paso de cualquier ejercicio de cónicas, y se hace de cabeza antes de tocar ninguna otra fórmula.
El segundo número que hay que mirar es el determinante de la matriz 3×3 de los coeficientes. Cuando se anula, el polinomio se factoriza y la cónica degenera: en lugar de una elipse queda solo el centro, en lugar de una hipérbola las dos rectas que eran sus asíntotas, en lugar de una parábola dos rectas paralelas. Son casos legítimos que hay que reconocer, no confundir con curvas aplastadas.
Hallada la especie, lo demás se deduce de la forma canónica, es decir de la ecuación escrita tomando como ejes los de la propia cónica. Para las cónicas con centro se halla primero el centro — el punto donde se anulan ambas derivadas parciales — y allí se trasladan los ejes; si hay término en xy también se giran, un ángulo que se obtiene de tan 2θ = B/(A − C). Sobre esos ejes la ecuación solo tiene los cuadrados, y los semiejes, los focos y la excentricidad se leen directamente.
Errores frecuentes
- Llevar la ecuación a la forma pedida olvidando cambiar un signo: y = x² − 4x + 3 se convierte en x² − 4x − y + 3 = 0, con E = −1 y no +1.
- Confundir el semieje mayor con el que multiplica a x²: en x²/9 + y²/25 = 1 el semieje mayor vale 5 y está sobre el eje y, no 3.
- Buscar los focos de una parábola en el eje equivocado: la parábola tiene un solo foco, sobre su propio eje de simetría, y la directriz está al otro lado del vértice a la misma distancia.
- Dar por sentado que la excentricidad de una hipérbola está entre 0 y 1: siempre es mayor que 1, y es la elipse la que tiene e < 1.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se distingue enseguida una elipse, una parábola y una hipérbola?
Por el signo de B² − 4AC. Negativo: elipse o circunferencia. Nulo: parábola. Positivo: hipérbola. No hace falta hallar el centro ni girar nada, y por eso siempre es el primer paso.
¿Qué significa que una cónica sea degenerada?
Que el polinomio de segundo grado se factoriza, de modo que el conjunto de puntos que lo anulan ya no es una curva sino un punto, un par de rectas o el conjunto vacío. Se reconoce por el determinante de la matriz 3×3 de los coeficientes: cuando es nulo, la cónica es degenerada.
¿Para qué sirve el término en xy?
Inclina la cónica respecto a los ejes cartesianos. Sin él los ejes de la curva son paralelos a los del plano; con él forman un ángulo θ dado por tan 2θ = B/(A − C). El ejemplo más sencillo es xy = 1, una hipérbola equilátera girada 45°.
¿Por qué la excentricidad de la circunferencia es cero?
Porque la excentricidad mide cuánto se aparta la elipse de la forma circular: vale c/a, donde c es la distancia del centro a un foco. En la circunferencia los dos focos coinciden con el centro, así que c = 0 y e = 0. Para la elipse 0 < e < 1, para la parábola e = 1, para la hipérbola e > 1.
¿La elipse también tiene asíntotas?
No: las asíntotas son rectas a las que la curva se acerca indefinidamente sin tocarlas, y solo las tiene la hipérbola. La elipse es acotada, cabe entera dentro de un rectángulo de lados 2a y 2b, y no se acerca a ninguna recta.
Cómo funciona este cálculo
A partir de la forma general Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 se construyen la matriz completa M, de filas (A, B/2, D/2), (B/2, C, E/2), (D/2, E/2, F), y su submatriz A₃₃ de las dos primeras filas y columnas. El signo de det A₃₃, es decir de −(B² − 4AC)/4, da la especie; det M = 0 da la degeneración. Para las cónicas con centro, el centro resuelve 2Ax + By + D = 0 y Bx + 2Cy + E = 0, los autovalores λ₁ y λ₂ de A₃₃ son los coeficientes de los cuadrados en la forma canónica λ₁X² + λ₂Y² + det M/det A₃₃ = 0, y los semiejes al cuadrado valen −(det M/det A₃₃)/λ. El ángulo de giro es la mitad del argumento de (A − C, B). Para la parábola un autovalor es nulo: se gira, se completa el cuadrado en la otra variable y se llega a X² = 4pY, con p la distancia entre el vértice y el foco.