Recta que pasa por dos puntos: ecuación y pendiente

Cómo se obtiene la recta por dos puntos

Dos puntos distintos determinan una sola recta: es el primer axioma de la geometría, y en coordenadas se convierte en una fórmula. La pendiente m es el cociente entre la variación de y y la de x, es decir (y₂−y₁)/(x₂−x₁): indica cuánto sube la recta cada vez que avanzas una unidad hacia la derecha. Hallada m, la ordenada en el origen q se obtiene imponiendo que la recta pase por cualquiera de los dos puntos, y la ecuación y = mx + q queda completa.

La forma implícita ax + by + c = 0 parece solo otra manera de escribirlo, pero es la que siempre funciona. Una recta vertical no tiene pendiente —la división entre x₂−x₁ = 0 no se puede hacer— y sin embargo su ecuación x = 3 se escribe sin problema como x − 3 = 0. Por eso la calculadora construye primero la forma implícita y deduce de ella todo lo demás: el caso particular no necesita un tratamiento aparte.

La pendiente es además la clave de las rectas paralelas y perpendiculares. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma m; son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes vale −1, es decir cuando una es la inversa cambiada de signo de la otra. El valor aparece bajo el resultado porque casi siempre es lo siguiente que pide el ejercicio.

Errores frecuentes

Invertir numerador y denominador en la pendiente: arriba va la diferencia de ordenadas y abajo la de abscisas, no al revés. El resultado erróneo es el inverso del correcto, y con m = 2 se convierte en 0,5: plausible y por tanto difícil de detectar.
Restar las coordenadas en distinto orden arriba y abajo: (y₂−y₁)/(x₁−x₂) cambia el signo de m y refleja la recta. El orden de los puntos puede ser cualquiera, pero debe ser el mismo en los dos términos.
Buscar la pendiente de una recta vertical: no existe, y no es un error de cálculo. La recta x = k está perfectamente definida pero tiene pendiente infinita, y se escribe en esa forma.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se halla la ecuación de la recta que pasa por dos puntos?

Se calcula la pendiente m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) y después se impone el paso por uno de los dos puntos con la fórmula y − y₁ = m(x − x₁). Desarrollando se obtiene la forma explícita y = mx + q. La calculadora muestra ambos pasos junto con la forma implícita ax + by + c = 0.

¿Qué significa que la pendiente no está definida?

Que la recta es vertical. En ese caso x₂ − x₁ vale cero y la fórmula exigiría dividir entre cero. La recta existe perfectamente, pero su ecuación es x = constante y no puede escribirse como y = mx + q.

¿Cómo obtengo la recta perpendicular a la hallada?

La pendiente de la perpendicular es −1/m y figura entre los resultados. Para la ecuación completa basta con imponer el paso por el punto pedido: y − y₀ = (−1/m)(x − x₀). Si la recta de partida es horizontal, la perpendicular es vertical y se escribe x = x₀.

¿El orden en que introduzco los dos puntos cambia el resultado?

No. Al intercambiar P₁ y P₂ cambian de signo tanto el numerador como el denominador de la pendiente, y el cociente permanece idéntico. La ecuación de la recta es la misma.

Cómo funciona este cálculo

Pendiente: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), definida solo si x₁ ≠ x₂. Forma punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁). Forma explícita: y = mx + q con q = y₁ − m·x₁. Forma implícita, válida también para la recta vertical: (y₂ − y₁)(x − x₁) − (x₂ − x₁)(y − y₁) = 0, es decir ax + by + c = 0 con a = y₂ − y₁, b = −(x₂ − x₁), c = −(a·x₁ + b·y₁). Ángulo de inclinación: α = arctan(m), expresado en [0°; 180°). Pendiente de la perpendicular: m⊥ = −1/m. Punto medio: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Distancia: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).

Distancia y punto medio

Distancia entre dos puntos del plano cartesiano y coordenadas del punto medio.

Cónicas

Reconoce la cónica a partir de la ecuación general y obtiene centro, focos, ejes, excentricidad, asíntotas y forma canónica.

Cálculo vectorial

Producto escalar y vectorial, ángulo entre dos vectores, proyección y áreas.