Gerade durch zwei Punkte: Geradengleichung und Steigung

Wie man die Gerade durch zwei Punkte bestimmt

Zwei verschiedene Punkte bestimmen genau eine Gerade: Das ist das erste Axiom der Geometrie, und in Koordinaten wird daraus eine Formel. Die Steigung m ist das Verhältnis der Änderung von y zur Änderung von x, also (y₂−y₁)/(x₂−x₁): Sie gibt an, um wie viel die Gerade steigt, wenn man eine Einheit nach rechts geht. Ist m bekannt, ergibt sich der Achsenabschnitt q daraus, dass die Gerade durch einen der beiden Punkte geht, und die Gleichung y = mx + q ist vollständig.

Die allgemeine Form ax + by + c = 0 wirkt nur wie eine andere Schreibweise, ist aber diejenige, die immer trägt. Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung — die Division durch x₂−x₁ = 0 ist nicht möglich —, und doch lässt sich ihre Gleichung x = 3 problemlos als x − 3 = 0 schreiben. Deshalb baut der Rechner zuerst die allgemeine Form auf und liest alles Weitere daraus ab: Der Sonderfall braucht keine eigene Behandlung.

Die Steigung ist außerdem der Schlüssel zu parallelen und senkrechten Geraden. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung m haben; sie stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt der Steigungen −1 ergibt, eine also der negative Kehrwert der anderen ist. Der Wert steht unter dem Ergebnis, weil er fast immer die nächste Frage der Aufgabe beantwortet.

Häufige Fehler

Zähler und Nenner der Steigung vertauschen: Oben steht die Differenz der y-Werte, unten die der x-Werte, nicht umgekehrt. Das falsche Ergebnis ist der Kehrwert des richtigen, und aus m = 2 wird 0,5: plausibel und daher schwer zu bemerken.
Die Koordinaten oben und unten in unterschiedlicher Reihenfolge subtrahieren: (y₂−y₁)/(x₁−x₂) dreht das Vorzeichen von m um und spiegelt die Gerade. Die Reihenfolge der Punkte ist frei wählbar, muss aber in beiden Termen dieselbe sein.
Die Steigung einer senkrechten Geraden suchen: Sie existiert nicht, und das ist kein Rechenfehler. Die Gerade x = k ist vollkommen definiert, hat aber unendliche Steigung und wird in dieser Form geschrieben.

Häufige Fragen

Wie bestimmt man die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte?

Man berechnet die Steigung m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) und setzt dann einen der beiden Punkte in die Punkt-Steigungs-Form y − y₁ = m(x − x₁) ein. Ausmultipliziert ergibt das die Normalform y = mx + q. Der Rechner zeigt beide Schritte zusammen mit der allgemeinen Form ax + by + c = 0.

Was bedeutet es, dass die Steigung nicht definiert ist?

Dass die Gerade senkrecht verläuft. In diesem Fall ist x₂ − x₁ gleich null und die Formel verlangte eine Division durch null. Die Gerade existiert sehr wohl, ihre Gleichung lautet aber x = konstant und lässt sich nicht als y = mx + q schreiben.

Wie erhalte ich die Senkrechte zur gefundenen Geraden?

Die Steigung der Senkrechten ist −1/m und steht unter den Ergebnissen. Für die vollständige Gleichung setzt man den geforderten Punkt ein: y − y₀ = (−1/m)(x − x₀). Ist die Ausgangsgerade waagerecht, verläuft die Senkrechte vertikal und lautet x = x₀.

Ändert die Reihenfolge der eingegebenen Punkte das Ergebnis?

Nein. Beim Vertauschen von P₁ und P₂ wechseln Zähler und Nenner der Steigung gemeinsam das Vorzeichen, der Quotient bleibt gleich. Die Geradengleichung ist dieselbe.

Wie diese Berechnung funktioniert

Steigung: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), nur definiert für x₁ ≠ x₂. Punkt-Steigungs-Form: y − y₁ = m(x − x₁). Normalform: y = mx + q mit q = y₁ − m·x₁. Allgemeine Form, auch für die senkrechte Gerade gültig: (y₂ − y₁)(x − x₁) − (x₂ − x₁)(y − y₁) = 0, also ax + by + c = 0 mit a = y₂ − y₁, b = −(x₂ − x₁), c = −(a·x₁ + b·y₁). Steigungswinkel: α = arctan(m), angegeben in [0°; 180°). Steigung der Senkrechten: m⊥ = −1/m. Mittelpunkt: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Abstand: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).

Abstand und Mittelpunkt

Abstand zweier Punkte in der Koordinatenebene und Koordinaten des Mittelpunkts.

Kegelschnitte

Erkennt den Kegelschnitt an der allgemeinen Gleichung und ermittelt Mittelpunkt, Brennpunkte, Achsen, Exzentrizität, Asymptoten und Normalform.

Vektorrechnung

Skalar- und Kreuzprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren, Projektion und Flächen.