Prosta przez dwa punkty: równanie i współczynnik kierunkowy

Jak wyznaczyć prostą przez dwa punkty

Dwa różne punkty wyznaczają dokładnie jedną prostą: to pierwszy aksjomat geometrii, a we współrzędnych staje się wzorem. Współczynnik kierunkowy m to stosunek zmiany y do zmiany x, czyli (y₂−y₁)/(x₂−x₁): mówi, o ile prosta rośnie przy przesunięciu o jednostkę w prawo. Gdy znamy m, wyraz wolny q otrzymujemy, żądając, by prosta przechodziła przez którykolwiek z dwóch punktów, i równanie y = mx + q jest kompletne.

Postać ogólna ax + by + c = 0 wygląda tylko na inny zapis, ale to ona sprawdza się zawsze. Prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego — dzielenie przez x₂−x₁ = 0 jest niemożliwe — a mimo to jej równanie x = 3 zapisujemy bez trudu jako x − 3 = 0. Dlatego kalkulator buduje najpierw postać ogólną i z niej odczytuje całą resztę: przypadek szczególny nie wymaga osobnego traktowania.

Współczynnik kierunkowy jest też kluczem do prostych równoległych i prostopadłych. Dwie proste są równoległe, gdy mają to samo m; są prostopadłe, gdy iloczyn współczynników wynosi −1, czyli gdy jeden jest odwrotnością drugiego ze zmienionym znakiem. Wartość ta znajduje się pod wynikiem, bo prawie zawsze jest kolejnym pytaniem zadania.

Częste błędy

Zamiana licznika z mianownikiem we współczynniku kierunkowym: u góry jest różnica rzędnych, na dole różnica odciętych, nie odwrotnie. Błędny wynik jest odwrotnością poprawnego, a z m = 2 robi się 0,5: wiarygodne, więc trudne do wychwycenia.
Odejmowanie współrzędnych w różnej kolejności u góry i na dole: (y₂−y₁)/(x₁−x₂) zmienia znak m i odbija prostą. Kolejność punktów może być dowolna, ale musi być taka sama w obu wyrażeniach.
Szukanie współczynnika kierunkowego prostej pionowej: on nie istnieje i nie jest to błąd rachunkowy. Prosta x = k jest doskonale określona, ale ma nieskończone nachylenie i zapisuje się w tej postaci.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty?

Oblicza się współczynnik kierunkowy m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), a następnie żąda przejścia przez jeden z punktów według wzoru y − y₁ = m(x − x₁). Po przekształceniu otrzymujemy postać kierunkową y = mx + q. Kalkulator pokazuje oba kroki wraz z postacią ogólną ax + by + c = 0.

Co znaczy, że współczynnik kierunkowy jest nieokreślony?

Że prosta jest pionowa. W takim przypadku x₂ − x₁ wynosi zero, a wzór wymagałby dzielenia przez zero. Prosta jak najbardziej istnieje, ale jej równanie to x = stała i nie da się go zapisać jako y = mx + q.

Jak otrzymać prostą prostopadłą do znalezionej?

Współczynnik prostej prostopadłej to −1/m i znajduje się wśród wyników. Aby uzyskać pełne równanie, wystarczy zażądać przejścia przez wskazany punkt: y − y₀ = (−1/m)(x − x₀). Jeśli prosta wyjściowa jest pozioma, prostopadła jest pionowa i zapisuje się jako x = x₀.

Czy kolejność wpisywania punktów zmienia wynik?

Nie. Po zamianie P₁ i P₂ zmieniają znak zarówno licznik, jak i mianownik współczynnika kierunkowego, a iloraz pozostaje taki sam. Równanie prostej jest identyczne.

Jak działa to obliczenie

Współczynnik kierunkowy: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), określony tylko dla x₁ ≠ x₂. Postać punkt-kierunek: y − y₁ = m(x − x₁). Postać kierunkowa: y = mx + q, gdzie q = y₁ − m·x₁. Postać ogólna, ważna także dla prostej pionowej: (y₂ − y₁)(x − x₁) − (x₂ − x₁)(y − y₁) = 0, czyli ax + by + c = 0 z a = y₂ − y₁, b = −(x₂ − x₁), c = −(a·x₁ + b·y₁). Kąt nachylenia: α = arctg(m), podawany w [0°; 180°). Współczynnik prostej prostopadłej: m⊥ = −1/m. Środek odcinka: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Odległość: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).

Odległość i środek odcinka

Odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych i współrzędne środka odcinka.

Krzywe stożkowe

Rozpoznaje krzywą z równania ogólnego i wyznacza środek, ogniska, osie, mimośród, asymptoty i postać kanoniczną.

Rachunek wektorowy

Iloczyn skalarny i wektorowy, kąt między wektorami, rzut i pola.