Géométrie analytique
Équation de la droite passant par deux points
Saisissez les coordonnées de deux points : la droite qui les relie apparaît aussitôt sous forme réduite et cartésienne, avec le coefficient directeur, les ordonnées à l'origine et tout ce que l'exercice demande ensuite.
Comment obtenir la droite passant par deux points
Deux points distincts déterminent une seule droite : c'est le premier axiome de la géométrie, et en coordonnées il devient une formule. Le coefficient directeur m est le rapport entre la variation de y et celle de x, soit (y₂−y₁)/(x₂−x₁) : il indique de combien la droite monte chaque fois qu'on avance d'une unité vers la droite. Une fois m trouvé, l'ordonnée à l'origine q s'obtient en imposant le passage par l'un des deux points, et l'équation y = mx + q est complète.
La forme cartésienne ax + by + c = 0 semble n'être qu'une autre écriture, mais c'est celle qui tient toujours. Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur — la division par x₂−x₁ = 0 est impossible — et pourtant son équation x = 3 s'écrit sans difficulté x − 3 = 0. C'est pourquoi la calculatrice construit d'abord la forme cartésienne et en déduit tout le reste : le cas particulier n'a pas besoin d'un traitement à part.
Le coefficient directeur est aussi la clé des droites parallèles et perpendiculaires. Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ont le même m ; elles sont perpendiculaires lorsque le produit des coefficients vaut −1, c'est-à-dire lorsque l'un est l'opposé de l'inverse de l'autre. La valeur figure sous le résultat parce qu'elle correspond presque toujours à la question suivante de l'exercice.
Erreurs fréquentes
- Inverser numérateur et dénominateur du coefficient directeur : la différence des ordonnées va au-dessus et celle des abscisses en dessous, pas l'inverse. Le résultat erroné est l'inverse du bon, et avec m = 2 il devient 0,5 : plausible, donc difficile à repérer.
- Soustraire les coordonnées dans un ordre différent au-dessus et en dessous : (y₂−y₁)/(x₁−x₂) change le signe de m et retourne la droite. L'ordre des points est libre, mais il doit être le même dans les deux termes.
- Chercher le coefficient directeur d'une droite verticale : il n'existe pas, et ce n'est pas une erreur de calcul. La droite x = k est parfaitement définie mais sa pente est infinie, et elle s'écrit sous cette forme.
Questions fréquentes
Comment trouver l'équation de la droite passant par deux points ?
On calcule le coefficient directeur m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), puis on impose le passage par l'un des deux points avec la formule y − y₁ = m(x − x₁). En développant on obtient la forme réduite y = mx + q. La calculatrice affiche les deux étapes ainsi que la forme cartésienne ax + by + c = 0.
Que signifie un coefficient directeur non défini ?
Que la droite est verticale. Dans ce cas x₂ − x₁ vaut zéro et la formule exigerait une division par zéro. La droite existe bel et bien, mais son équation est x = constante et ne peut pas s'écrire y = mx + q.
Comment obtenir la droite perpendiculaire à celle trouvée ?
Le coefficient de la perpendiculaire est −1/m et figure parmi les résultats. Pour l'équation complète, il suffit d'imposer le passage par le point demandé : y − y₀ = (−1/m)(x − x₀). Si la droite de départ est horizontale, la perpendiculaire est verticale et s'écrit x = x₀.
L'ordre de saisie des deux points change-t-il le résultat ?
Non. En échangeant P₁ et P₂, le numérateur et le dénominateur du coefficient directeur changent tous deux de signe, et le rapport reste identique. L'équation de la droite est la même.
Comment fonctionne ce calcul
Coefficient directeur : m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), défini seulement si x₁ ≠ x₂. Forme point-pente : y − y₁ = m(x − x₁). Forme réduite : y = mx + q avec q = y₁ − m·x₁. Forme cartésienne, valable aussi pour la droite verticale : (y₂ − y₁)(x − x₁) − (x₂ − x₁)(y − y₁) = 0, soit ax + by + c = 0 avec a = y₂ − y₁, b = −(x₂ − x₁), c = −(a·x₁ + b·y₁). Angle d'inclinaison : α = arctan(m), donné dans [0° ; 180°). Coefficient de la perpendiculaire : m⊥ = −1/m. Milieu : M = ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2). Distance : d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
Calculs liés
Distance et milieu
Distance entre deux points du plan cartésien et coordonnées du milieu du segment.
Coniques
Reconnaît la conique à partir de l'équation générale et en tire centre, foyers, axes, excentricité, asymptotes et forme canonique.
Calcul vectoriel
Produits scalaire et vectoriel, angle entre deux vecteurs, projection et aires.