Reta por dois pontos: equação e coeficiente angular

Como se encontra a reta por dois pontos

Dois pontos distintos determinam exatamente uma reta: é o primeiro axioma da geometria, e em coordenadas vira uma fórmula. O coeficiente angular m é a razão entre a variação de y e a variação de x, (y₂−y₁)/(x₂−x₁): diz quanto a reta sobe para cada unidade que se anda para a direita. Conhecido m, o coeficiente linear q sai de fazer a reta passar por um dos pontos, e a equação y = mx + q fica completa.

A forma geral ax + by + c = 0 parece uma simples reescrita, mas é a que sempre vale. Uma reta vertical não tem coeficiente angular — dividir por x₂−x₁ = 0 não é permitido —, e ainda assim a sua equação x = 3 se escreve sem dificuldade como x − 3 = 0. É por isso que esta calculadora monta primeiro a forma geral e lê todo o resto a partir dela: o caso especial não precisa de tratamento à parte.

O coeficiente angular também é a chave das retas paralelas e perpendiculares. Duas retas são paralelas quando têm o mesmo m; são perpendiculares quando o produto dos coeficientes angulares é −1, ou seja, quando um é o oposto do inverso do outro. O valor aparece abaixo do resultado porque é quase sempre a próxima coisa que o exercício pede.

Erros frequentes

Inverter numerador e denominador no coeficiente angular: em cima fica a diferença dos y e embaixo a dos x, não o contrário. A resposta errada é o inverso da certa, e com m = 2 vira 0,5 — plausível e, por isso, difícil de perceber.
Subtrair as coordenadas em ordens diferentes em cima e embaixo: (y₂−y₁)/(x₁−x₂) inverte o sinal de m e espelha a reta. A ordem dos pontos pode ser qualquer uma, mas precisa ser a mesma nos dois termos.
Procurar o coeficiente angular de uma reta vertical: ele não existe, e isso não é erro de cálculo. A reta x = k é perfeitamente definida, mas tem inclinação infinita e precisa ser escrita nessa forma.

Perguntas frequentes

Como se encontra a equação da reta que passa por dois pontos?

Calcule o coeficiente angular m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) e faça a reta passar por um dos pontos com y − y₁ = m(x − x₁). Desenvolvendo, obtém-se a forma reduzida y = mx + q. A calculadora mostra os dois passos junto com a forma geral ax + by + c = 0.

O que significa o coeficiente angular ser indefinido?

Significa que a reta é vertical. Nesse caso x₂ − x₁ é zero e a fórmula exigiria uma divisão por zero. A reta certamente existe, mas a sua equação é x = constante e não pode ser escrita como y = mx + q.

Como obtenho a reta perpendicular a esta?

O coeficiente angular da perpendicular é −1/m e aparece entre os resultados. Para a equação completa, faça-a passar pelo ponto pedido: y − y₀ = (−1/m)(x − x₀). Se a reta original for horizontal, a perpendicular é vertical e se escreve x = x₀.

A ordem em que informo os dois pontos muda a resposta?

Não. Trocar P₁ e P₂ muda o sinal do numerador e do denominador do coeficiente angular, e a razão continua a mesma. A equação da reta é idêntica.

Como funciona este cálculo

Coeficiente angular: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), definido só quando x₁ ≠ x₂. Forma ponto-inclinação: y − y₁ = m(x − x₁). Forma reduzida: y = mx + q com q = y₁ − m·x₁. Forma geral, válida também para retas verticais: (y₂ − y₁)(x − x₁) − (x₂ − x₁)(y − y₁) = 0, ou seja, ax + by + c = 0 com a = y₂ − y₁, b = −(x₂ − x₁), c = −(a·x₁ + b·y₁). Ângulo de inclinação: α = arctan(m), dado em [0°; 180°). Coeficiente da perpendicular: m⊥ = −1/m. Ponto médio: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Distância: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).

Distância e ponto médio

Distância entre dois pontos do plano cartesiano e coordenadas do ponto médio.

Cônicas

Reconhece a cônica pela equação geral e encontra centro, focos, eixos, excentricidade, assíntotas e forma canônica.

Cálculo vetorial

Produto escalar e vetorial, ângulo entre dois vetores, projeção e áreas.