Risoluzione dei triangoli: lati e angoli da tre dati

Quando si risolve un triangolo

Risolvere un triangolo vuol dire ricavarne tutte e sei le misure — tre lati e tre angoli — partendo da tre. Tre dati bastano perché fissano insieme forma e grandezza, con una sola eccezione: tre angoli danno la forma e lasciano libera la scala, quindi non individuano nessun triangolo in particolare. Servono almeno un lato e, da lì, due strumenti: il teorema dei seni, a/sen α = b/sen β = c/sen γ, che lega ogni lato all'angolo che gli sta di fronte, e il teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab·cos γ, che è la versione generale del teorema di Pitagora e si usa quando dei seni non si sa abbastanza.

Quale dei due serve dipende da come sono disposti i dati, ed è per questo che i casi hanno un nome. Con tre lati (LLL) o con due lati e l'angolo fra di essi (LAL) si parte dal teorema del coseno, perché è l'unico che mette in relazione tre lati e un angolo. Con un lato e due angoli (ALA o AAL) il terzo angolo si ottiene per differenza da 180° e il teorema dei seni fissa la scala: è il caso di chi conosce gli angoli e vuole i lati, il più frequente nei rilievi e nella triangolazione, dove gli angoli si misurano bene e le distanze no.

Resta il caso di due lati e di un angolo che non sta fra loro (LLA), e qui il triangolo può essere due. Il teorema dei seni restituisce il seno di un angolo, e due angoli supplementari hanno lo stesso seno: se anche quello ottuso chiude il triangolo, le soluzioni sono due, con aree e terzi lati diversi. Non è un difetto del calcolo, sono due figure entrambe compatibili con i dati; questa calcolatrice le mostra tutte e due invece di sceglierne una.

Errori frequenti

Chiamare ipotenusa il lato più lungo di un triangolo qualunque e applicare Pitagora. Il teorema di Pitagora vale solo con un angolo retto: nel caso generale il termine −2ab·cos γ non si annulla, ed è proprio quello che il teorema del coseno aggiunge.
Fermarsi alla prima soluzione nel caso LLA. Se dell'angolo trovato si prende solo l'arcoseno si ottiene sempre un angolo acuto, e il triangolo ottuso — altrettanto valido — sparisce senza che nulla lo segnali.
Associare un lato all'angolo sbagliato. Nel teorema dei seni ogni lato va con l'angolo che gli sta di fronte, non con quello che porta la stessa lettera per caso: il lato a con α, e non con l'angolo del vertice A da cui parte.

Domande frequenti

Come si calcolano i lati di un triangolo conoscendo gli angoli?

Gli angoli da soli non bastano: danno la forma ma non la grandezza, e infiniti triangoli simili hanno gli stessi angoli. Serve almeno un lato. Con un lato e due angoli il terzo angolo si ottiene come 180° meno gli altri due, poi il teorema dei seni dà gli altri lati: b = a·sen β / sen α.

Quante misure servono per risolvere un triangolo?

Tre, di cui almeno una deve essere un lato. Tre lati, due lati e un angolo, oppure un lato e due angoli vanno tutti bene; tre angoli no, perché lasciano indeterminata la scala.

Che cos'è il caso ambiguo dei triangoli?

È il caso di due lati e di un angolo non compreso fra loro (LLA). Il teorema dei seni fornisce il seno di un angolo, e due angoli supplementari hanno lo stesso seno: quando anche l'angolo ottuso lascia chiudere il triangolo, le soluzioni sono due. Questa calcolatrice le riporta entrambe.

Quando si usa il teorema del coseno invece di quello dei seni?

Quando i dati sono tre lati oppure due lati con l'angolo compreso: in queste due situazioni il teorema dei seni non è applicabile, perché non c'è nessuna coppia lato-angolo opposto già nota. In tutti gli altri casi il teorema dei seni è più diretto.

Come si calcola l'area senza conoscere l'altezza?

Con due lati e l'angolo compreso: A = ½·a·b·sen γ. Se si conoscono i tre lati si usa la formula di Erone, A = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) con p semiperimetro. La calcolatrice mostra comunque le tre altezze, ciascuna ricavata dall'area come h = 2A/lato.

Come funziona questo calcolo

Teorema dei seni: a/sen α = b/sen β = c/sen γ = 2R, con R raggio della circonferenza circoscritta. Teorema del coseno: a² = b² + c² − 2bc·cos α, e analoghe per gli altri lati. Somma degli angoli: α + β + γ = 180°. Tre lati (LLL): cos α = (b² + c² − a²)/(2bc), poi cos β allo stesso modo e γ per differenza; il triangolo esiste solo se ogni lato è minore della somma degli altri due. Due lati e l'angolo compreso (LAL): il terzo lato dal teorema del coseno, poi come sopra. Un lato e due angoli (ALA o AAL): il terzo angolo per differenza, gli altri lati dal teorema dei seni. Due lati e un angolo non compreso (LLA): sen β = b·sen α / a; se il risultato è maggiore di 1 il triangolo non esiste, altrimenti sono soluzioni sia β sia 180° − β, purché la somma con α resti sotto 180°. Area: A = ½·a·b·sen γ, equivalente alla formula di Erone A = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Altezze: h_a = 2A/a. Raggio inscritto: r = A/p.

Teorema di Pitagora

Ipotenusa o cateto mancante, con area, perimetro, angoli e teoremi di Euclide.

Perimetro e area

Perimetro, area e misure derivate di nove figure piane, dal quadrato all'ellisse.

Formule trigonometriche

Valori fondamentali, bisezione, duplicazione, addizione, prostaferesi e Werner su uno o due angoli.