Rozwiązywanie trójkątów: boki i kąty z trzech danych

Kiedy rozwiązuje się trójkąt

Rozwiązać trójkąt znaczy odtworzyć wszystkie sześć jego miar — trzy boki i trzy kąty — z trzech z nich. Trzy wystarczają, bo ustalają jednocześnie kształt i wielkość, z jednym wyjątkiem: trzy kąty ustalają kształt i pozostawiają swobodną skalę, więc nie wskazują żadnego konkretnego trójkąta. Potrzebny jest co najmniej jeden bok, a dalej dwa narzędzia: twierdzenie sinusów, a/sin α = b/sin β = c/sin γ, które wiąże każdy bok z leżącym naprzeciw niego kątem, oraz twierdzenie cosinusów, c² = a² + b² − 2ab·cos γ, czyli ogólna postać twierdzenia Pitagorasa, używana wtedy, gdy same sinusy wiedzą za mało.

Które z nich jest potrzebne, zależy od układu danych, i dlatego przypadki mają nazwy. Przy trzech bokach (BBB) albo przy dwóch bokach i kącie między nimi (BKB) zaczyna się od twierdzenia cosinusów, bo tylko ono wiąże trzy boki z kątem. Przy jednym boku i dwóch kątach (KBK lub KKB) trzeci kąt wychodzi z odjęcia pozostałych od 180°, a twierdzenie sinusów ustala skalę: to przypadek kogoś, kto zna kąty i szuka boków, najczęstszy w geodezji i triangulacji, gdzie kąty mierzy się dobrze, a odległości nie.

Zostaje przypadek dwóch boków i kąta, który nie leży między nimi (BBK) — tu trójkąty mogą być dwa. Twierdzenie sinusów zwraca sinus kąta, a dwa kąty przyległe do prostej mają ten sam sinus: jeśli również ten rozwarty domyka trójkąt, rozwiązania są dwa, o różnym trzecim boku i różnym polu. To nie usterka rachunku, lecz dwie figury zgodne z danymi; ten kalkulator pokazuje obie, zamiast wybierać jedną.

Częste błędy

Nazywanie najdłuższego boku dowolnego trójkąta przeciwprostokątną i sięganie po Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa obowiązuje tylko przy kącie prostym: w przypadku ogólnym składnik −2ab·cos γ nie znika, i to właśnie jego dokłada twierdzenie cosinusów.
Poprzestawanie na pierwszym rozwiązaniu w przypadku BBK. Jeśli z szukanego kąta weźmie się tylko arkus sinus, zawsze wychodzi kąt ostry, a trójkąt rozwartokątny — równie poprawny — znika bez żadnego sygnału.
Przypisanie boku do niewłaściwego kąta. W twierdzeniu sinusów każdy bok łączy się z kątem leżącym naprzeciw niego, a nie z tym, który przypadkiem nosi tę samą literę: bok a z α, a nie z kątem przy wierzchołku A, z którego wychodzi.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć boki trójkąta, znając kąty?

Same kąty nie wystarczą: dają kształt, ale nie wielkość, a te same kąty ma nieskończenie wiele trójkątów podobnych. Potrzebny jest co najmniej jeden bok. Przy jednym boku i dwóch kątach trzeci kąt to 180° minus pozostałe dwa, a twierdzenie sinusów daje pozostałe boki: b = a·sin β / sin α.

Ile miar potrzeba, żeby rozwiązać trójkąt?

Trzy, z czego co najmniej jedna musi być bokiem. Trzy boki, dwa boki i kąt albo jeden bok i dwa kąty — wszystkie te zestawy działają; trzy kąty nie, bo pozostawiają nieokreśloną skalę.

Czym jest przypadek niejednoznaczny trójkąta?

To przypadek dwóch boków i kąta nieleżącego między nimi (BBK). Twierdzenie sinusów daje sinus kąta, a kąt ostry i jego dopełnienie do 180° mają ten sam sinus: gdy również kąt rozwarty pozwala domknąć trójkąt, rozwiązania są dwa. Ten kalkulator podaje oba.

Kiedy używa się twierdzenia cosinusów zamiast twierdzenia sinusów?

Gdy danymi są trzy boki albo dwa boki z kątem między nimi: w tych dwóch układach twierdzenie sinusów nie ma od czego zacząć, bo nie jest jeszcze znana żadna para bok–kąt naprzeciwległy. W pozostałych przypadkach twierdzenie sinusów jest krótszą drogą.

Jak obliczyć pole bez znajomości wysokości?

Z dwóch boków i kąta między nimi: P = ½·a·b·sin γ. Przy trzech bokach stosuje się wzór Herona, P = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), gdzie p to połowa obwodu. Kalkulator i tak pokazuje wszystkie trzy wysokości, każdą wyliczoną z pola jako h = 2P/bok.

Jak działa to obliczenie

Twierdzenie sinusów: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, gdzie R to promień okręgu opisanego. Twierdzenie cosinusów: a² = b² + c² − 2bc·cos α, analogicznie dla pozostałych boków. Suma kątów: α + β + γ = 180°. Trzy boki (BBB): cos α = (b² + c² − a²)/(2bc), potem cos β tak samo, a γ z różnicy; trójkąt istnieje tylko wtedy, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Dwa boki i kąt między nimi (BKB): trzeci bok z twierdzenia cosinusów, dalej jak wyżej. Jeden bok i dwa kąty (KBK lub KKB): trzeci kąt z różnicy, pozostałe boki z twierdzenia sinusów. Dwa boki i kąt nieleżący między nimi (BBK): sin β = b·sin α / a; jeśli wynik przekracza 1, trójkąt nie istnieje, w przeciwnym razie rozwiązaniami są zarówno β, jak i 180° − β, o ile suma z α pozostaje poniżej 180°. Pole: P = ½·a·b·sin γ, równoważnie ze wzoru Herona P = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Wysokości: h_a = 2P/a. Promień wpisany: r = P/p.

Twierdzenie Pitagorasa

Brakująca przeciwprostokątna lub przyprostokątna, z polem, obwodem, kątami i twierdzeniami Euklidesa.

Obwód i pole

Obwód, pole i wielkości pochodne dziewięciu figur płaskich, od kwadratu po elipsę.

Wzory trygonometryczne

Funkcje podstawowe, wzory na połowę kąta, podwojenie, sumę, prostaferezy i Wernera dla jednego lub dwóch kątów.