Dreieck berechnen: Seiten und Winkel aus drei Angaben

Wann man ein Dreieck berechnet

Ein Dreieck zu berechnen heißt, alle sechs Maße – drei Seiten und drei Winkel – aus dreien davon zu gewinnen. Drei genügen, weil sie Form und Größe zugleich festlegen, mit einer Ausnahme: drei Winkel legen die Form fest und lassen den Maßstab offen, bezeichnen also kein bestimmtes Dreieck. Es braucht mindestens eine Seite und von dort zwei Werkzeuge: den Sinussatz, a/sin α = b/sin β = c/sin γ, der jede Seite mit dem ihr gegenüberliegenden Winkel verbindet, und den Kosinussatz, c² = a² + b² − 2ab·cos γ, die allgemeine Fassung des Satzes von Pythagoras, die einspringt, wenn die Sinusse allein zu wenig wissen.

Welcher der beiden gebraucht wird, hängt von der Lage der Angaben ab, und deshalb tragen die Fälle Namen. Bei drei Seiten (SSS) oder bei zwei Seiten und dem Winkel dazwischen (SWS) beginnt man mit dem Kosinussatz, weil nur er drei Seiten mit einem Winkel verknüpft. Bei einer Seite und zwei Winkeln (WSW oder SWW) ergibt sich der dritte Winkel aus 180° minus den beiden anderen, und der Sinussatz setzt den Maßstab: das ist der Fall für alle, die die Winkel kennen und die Seiten wollen – der Alltagsfall in Vermessung und Triangulation, wo sich Winkel gut messen lassen und Entfernungen nicht.

Bleibt der Fall zweier Seiten mit einem Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt (SSW), und hier kann es zwei Dreiecke geben. Der Sinussatz liefert den Sinus eines Winkels, und zwei Supplementwinkel haben denselben Sinus: schließt auch der stumpfe das Dreieck, gibt es zwei Lösungen mit verschiedener dritter Seite und verschiedener Fläche. Das ist kein Rechenfehler, es sind zwei Figuren, die beide zu den Angaben passen; dieser Rechner zeigt beide, statt eine auszuwählen.

Häufige Fehler

Die längste Seite eines beliebigen Dreiecks Hypotenuse nennen und Pythagoras anwenden. Der Satz des Pythagoras gilt nur bei einem rechten Winkel: im allgemeinen Fall verschwindet der Term −2ab·cos γ nicht, und genau ihn fügt der Kosinussatz hinzu.
Im Fall SSW bei der ersten Lösung stehen bleiben. Nimmt man vom gesuchten Winkel nur den Arkussinus, kommt immer ein spitzer Winkel heraus, und das stumpfwinklige Dreieck – ebenso gültig – verschwindet, ohne dass etwas darauf hinweist.
Eine Seite dem falschen Winkel zuordnen. Im Sinussatz gehört jede Seite zu dem Winkel, der ihr gegenüberliegt, nicht zu dem, der zufällig denselben Buchstaben trägt: Seite a zu α, nicht zum Winkel im Punkt A, von dem sie ausgeht.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Seiten eines Dreiecks aus den Winkeln?

Winkel allein genügen nicht: sie geben die Form, aber nicht die Größe, und unendlich viele ähnliche Dreiecke haben dieselben Winkel. Es braucht mindestens eine Seite. Bei einer Seite und zwei Winkeln ist der dritte Winkel 180° minus den beiden anderen, und der Sinussatz liefert die übrigen Seiten: b = a·sin β / sin α.

Wie viele Maße braucht man, um ein Dreieck zu berechnen?

Drei, davon mindestens eine Seite. Drei Seiten, zwei Seiten und ein Winkel oder eine Seite und zwei Winkel gehen alle; drei Winkel nicht, weil sie den Maßstab offenlassen.

Was ist der zweideutige Fall beim Dreieck?

Das ist der Fall zweier Seiten und eines nicht zwischen ihnen liegenden Winkels (SSW). Der Sinussatz gibt den Sinus eines Winkels, und zwei Supplementwinkel haben denselben Sinus: schließt auch der stumpfe das Dreieck, gibt es zwei Lösungen. Dieser Rechner nennt beide.

Wann nimmt man den Kosinussatz statt des Sinussatzes?

Wenn drei Seiten gegeben sind oder zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel: in diesen beiden Lagen kommt der Sinussatz nicht in Gang, weil noch kein Paar aus Seite und Gegenwinkel bekannt ist. In allen anderen Fällen ist der Sinussatz der kürzere Weg.

Wie berechnet man die Fläche ohne die Höhe?

Aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel: A = ½·a·b·sin γ. Aus drei Seiten mit der Formel von Heron, A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) mit s als halbem Umfang. Der Rechner zeigt ohnehin alle drei Höhen, jede aus der Fläche als h = 2A/Seite.

Wie diese Berechnung funktioniert

Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, mit R als Umkreisradius. Kosinussatz: a² = b² + c² − 2bc·cos α, entsprechend für die anderen Seiten. Winkelsumme: α + β + γ = 180°. Drei Seiten (SSS): cos α = (b² + c² − a²)/(2bc), dann cos β genauso und γ als Differenz; das Dreieck existiert nur, wenn jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS): die dritte Seite über den Kosinussatz, dann wie oben. Eine Seite und zwei Winkel (WSW oder SWW): der dritte Winkel als Differenz, die übrigen Seiten über den Sinussatz. Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (SSW): sin β = b·sin α / a; ist das größer als 1, gibt es kein Dreieck, sonst sind sowohl β als auch 180° − β Lösungen, sofern die Summe mit α unter 180° bleibt. Fläche: A = ½·a·b·sin γ, gleichwertig zur Formel von Heron A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Höhen: h_a = 2A/a. Inkreisradius: r = A/s.

Satz des Pythagoras

Fehlende Hypotenuse oder Kathete, mit Fläche, Umfang, Winkeln und den Sätzen des Euklid.

Umfang und Fläche

Umfang, Fläche und abgeleitete Maße für neun ebene Figuren, vom Quadrat bis zur Ellipse.

Trigonometrische Formeln

Grundfunktionen, Halbwinkel, Doppelwinkel, Additionstheoreme, Prosthaphärese und Werner für einen oder zwei Winkel.