Résolution de triangles : côtés et angles à partir de trois

Quand on résout un triangle

Résoudre un triangle, c'est en retrouver les six mesures — trois côtés et trois angles — à partir de trois d'entre elles. Trois suffisent parce qu'elles fixent à la fois la forme et la taille, à une exception près : trois angles fixent la forme et laissent l'échelle libre, ils ne désignent donc aucun triangle particulier. Il faut au moins un côté, puis deux outils : la loi des sinus, a/sin α = b/sin β = c/sin γ, qui relie chaque côté à l'angle qui lui fait face, et la loi des cosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos γ, version générale du théorème de Pythagore, utilisée quand les sinus seuls n'en savent pas assez.

Lequel des deux sert dépend de la disposition des données, et c'est pourquoi les cas portent un nom. Avec trois côtés (CCC) ou deux côtés et l'angle entre eux (CAC), on part de la loi des cosinus, la seule à relier trois côtés et un angle. Avec un côté et deux angles (ACA ou AAC), le troisième angle vaut 180° moins les deux autres et la loi des sinus fixe l'échelle : c'est le cas de qui connaît les angles et veut les côtés, le cas courant en topographie et en triangulation, où les angles se mesurent bien et les distances non.

Reste le cas de deux côtés et d'un angle qui n'est pas entre eux (CCA), où le triangle peut être double. La loi des sinus renvoie le sinus d'un angle, et deux angles supplémentaires ont le même sinus : si l'obtus ferme lui aussi le triangle, il y a deux solutions, de troisième côté et d'aire différents. Ce n'est pas un défaut du calcul, ce sont deux figures compatibles avec les données ; ce calculateur les montre toutes les deux au lieu d'en choisir une.

Erreurs fréquentes

Appeler hypoténuse le plus long côté d'un triangle quelconque et appliquer Pythagore. Le théorème de Pythagore ne vaut qu'avec un angle droit : dans le cas général le terme −2ab·cos γ ne s'annule pas, et c'est précisément ce que la loi des cosinus ajoute.
S'arrêter à la première solution dans le cas CCA. Si l'on ne prend que l'arcsinus de l'angle cherché, on obtient toujours un angle aigu, et le triangle obtus — tout aussi valable — disparaît sans que rien ne le signale.
Associer un côté au mauvais angle. Dans la loi des sinus, chaque côté va avec l'angle qui lui fait face, et non avec celui qui porte par hasard la même lettre : le côté a avec α, pas avec l'angle du sommet A d'où il part.

Questions fréquentes

Comment calculer les côtés d'un triangle à partir des angles ?

Les angles seuls ne suffisent pas : ils donnent la forme mais pas la taille, et une infinité de triangles semblables ont les mêmes angles. Il faut au moins un côté. Avec un côté et deux angles, le troisième angle vaut 180° moins les deux autres, puis la loi des sinus donne les autres côtés : b = a·sin β / sin α.

Combien de mesures faut-il pour résoudre un triangle ?

Trois, dont au moins un côté. Trois côtés, deux côtés et un angle, ou un côté et deux angles conviennent ; trois angles non, car ils laissent l'échelle indéterminée.

Qu'est-ce que le cas ambigu des triangles ?

C'est le cas de deux côtés et d'un angle non compris entre eux (CCA). La loi des sinus donne le sinus d'un angle, et deux angles supplémentaires ont le même sinus : quand l'angle obtus permet lui aussi de fermer le triangle, il y a deux solutions. Ce calculateur les indique toutes les deux.

Quand utiliser la loi des cosinus plutôt que celle des sinus ?

Quand les données sont trois côtés, ou deux côtés avec l'angle compris : dans ces deux situations la loi des sinus ne peut pas démarrer, faute d'un couple côté-angle opposé déjà connu. Dans tous les autres cas, la loi des sinus est plus directe.

Comment calculer l'aire sans connaître la hauteur ?

Avec deux côtés et l'angle compris : A = ½·a·b·sin γ. Avec les trois côtés, par la formule de Héron, A = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) où p est le demi-périmètre. Le calculateur affiche de toute façon les trois hauteurs, chacune tirée de l'aire par h = 2A/côté.

Comment fonctionne ce calcul

Loi des sinus : a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, où R est le rayon du cercle circonscrit. Loi des cosinus : a² = b² + c² − 2bc·cos α, et de même pour les autres côtés. Somme des angles : α + β + γ = 180°. Trois côtés (CCC) : cos α = (b² + c² − a²)/(2bc), puis cos β de la même façon et γ par différence ; le triangle n'existe que si chaque côté est plus court que la somme des deux autres. Deux côtés et l'angle compris (CAC) : le troisième côté par la loi des cosinus, puis comme ci-dessus. Un côté et deux angles (ACA ou AAC) : le troisième angle par différence, les autres côtés par la loi des sinus. Deux côtés et un angle non compris (CCA) : sin β = b·sin α / a ; si le résultat dépasse 1 le triangle n'existe pas, sinon β et 180° − β sont deux solutions, pourvu que la somme avec α reste sous 180°. Aire : A = ½·a·b·sin γ, équivalente à la formule de Héron A = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Hauteurs : h_a = 2A/a. Rayon inscrit : r = A/p.

Théorème de Pythagore

Hypoténuse ou côté manquant, avec aire, périmètre, angles et théorèmes d'Euclide.

Périmètre et aire

Périmètre, aire et mesures dérivées de neuf figures planes, du carré à l'ellipse.

Formules trigonométriques

Rapports fondamentaux, arc moitié, arc double, addition, prosthaphérèse et Werner sur un ou deux angles.