Resolução de triângulos: lados e ângulos a partir de três

Quando se resolve um triângulo

Resolver um triângulo significa obter as suas seis medidas — três lados e três ângulos — a partir de três delas. Três bastam porque juntas fixam forma e tamanho, com uma exceção: três ângulos fixam a forma e deixam a escala livre, então não determinam nenhum triângulo em particular. É preciso pelo menos um lado, e daí em diante duas ferramentas: a lei dos senos, a/sen α = b/sen β = c/sen γ, que liga cada lado ao ângulo oposto, e a lei dos cossenos, c² = a² + b² − 2ab·cos γ, a forma geral de Pitágoras, usada quando só os senos não sabem o suficiente.

Qual das duas você precisa depende de como os dados estão dispostos, e é por isso que os casos têm nome. Com três lados (LLL), ou dois lados e o ângulo entre eles (LAL), parte-se da lei dos cossenos, porque é a única que relaciona três lados a um ângulo. Com um lado e dois ângulos (ALA ou LAA), o terceiro ângulo é 180° menos os outros dois e a lei dos senos fixa a escala: é o caso de quem conhece os ângulos e quer os lados, e é o caso de todo dia em topografia e triangulação, em que ângulos se medem bem e distâncias não.

Resta o caso de dois lados e um ângulo que não está entre eles (LLA), em que pode haver dois triângulos. A lei dos senos devolve o seno de um ângulo, e dois ângulos suplementares têm o mesmo seno: se o obtuso também fecha o triângulo, há duas soluções, com terceiros lados e áreas diferentes. Não é um defeito da conta — as duas figuras atendem aos dados —, por isso esta calculadora mostra as duas em vez de escolher uma.

Erros frequentes

Chamar de hipotenusa o maior lado de um triângulo qualquer e recorrer a Pitágoras. Pitágoras só vale com um ângulo reto: no caso geral o termo −2ab·cos γ não se anula, e esse termo é exatamente o que a lei dos cossenos acrescenta.
Parar na primeira solução no caso LLA. O arco seno de um ângulo sempre devolve um ângulo agudo, e o triângulo obtusângulo — igualmente válido — desaparece sem nada que o sinalize.
Associar um lado ao ângulo errado. Na lei dos senos cada lado vai com o ângulo oposto a ele, não com o que por acaso tem a mesma letra: o lado a com α, não com o ângulo do vértice de onde ele parte.

Perguntas frequentes

Como se encontram os lados de um triângulo pelos ângulos?

Só os ângulos não bastam: dão a forma, mas não o tamanho, e infinitos triângulos semelhantes os compartilham. É preciso pelo menos um lado. Com um lado e dois ângulos, o terceiro ângulo é 180° menos os outros dois, e a lei dos senos dá os lados restantes: b = a·sen β / sen α.

Quantas medidas são necessárias para resolver um triângulo?

Três, sendo pelo menos uma um lado. Três lados, dois lados e um ângulo, ou um lado e dois ângulos funcionam; três ângulos não, porque deixam a escala indeterminada.

O que é o caso ambíguo?

É o caso de dois lados e um ângulo que não está entre eles (LLA). A lei dos senos dá o seno de um ângulo, e dois ângulos suplementares têm o mesmo seno, então quando o obtuso ainda fecha o triângulo há duas soluções. Esta calculadora mostra as duas.

Quando usar a lei dos cossenos em vez da lei dos senos?

Quando os dados são três lados, ou dois lados com o ângulo entre eles. Nessas duas situações a lei dos senos não consegue começar, porque ainda nenhum lado está associado ao seu ângulo oposto. Em todos os outros casos a lei dos senos é o caminho mais curto.

Como se calcula a área sem conhecer uma altura?

Com dois lados e o ângulo entre eles: A = ½·a·b·sen γ. Com três lados, use a fórmula de Heron, A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) com s o semiperímetro. A calculadora mostra mesmo assim as três alturas, cada uma obtida da área como h = 2A/lado.

Como funciona este cálculo

Lei dos senos: a/sen α = b/sen β = c/sen γ = 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita. Lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc·cos α, e do mesmo modo para os outros lados. Soma dos ângulos: α + β + γ = 180°. Três lados (LLL): cos α = (b² + c² − a²)/(2bc), depois cos β do mesmo modo e γ por diferença; o triângulo só existe se cada lado for menor que a soma dos outros dois. Dois lados e o ângulo compreendido (LAL): o terceiro lado pela lei dos cossenos, depois como acima. Um lado e dois ângulos (ALA ou LAA): o terceiro ângulo por diferença, os lados restantes pela lei dos senos. Dois lados e um ângulo não compreendido (LLA): sen β = b·sen α / a; se passar de 1 não há triângulo, caso contrário β e 180° − β são soluções, desde que a soma com α fique abaixo de 180°. Área: A = ½·a·b·sen γ, equivalente à fórmula de Heron A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Alturas: h_a = 2A/a. Raio da inscrita: r = A/s.

Teorema de Pitágoras

A hipotenusa ou o cateto que falta, com área, perímetro, ângulos e as relações métricas.

Perímetro e área

Perímetro, área e medidas derivadas de nove figuras planas, do quadrado à elipse.

Fórmulas trigonométricas

Razões fundamentais, arco metade, arco duplo, adição, fórmulas de prostaférese e de Werner com um ou dois ângulos.