Resolución de triángulos: lados y ángulos a partir de tres datos

Cuándo se resuelve un triángulo

Resolver un triángulo significa obtener sus seis medidas —tres lados y tres ángulos— a partir de tres. Tres bastan porque fijan a la vez la forma y el tamaño, con una excepción: tres ángulos fijan la forma y dejan libre la escala, así que no señalan ningún triángulo concreto. Hace falta al menos un lado y, desde ahí, dos herramientas: el teorema del seno, a/sen α = b/sen β = c/sen γ, que relaciona cada lado con el ángulo que tiene enfrente, y el teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab·cos γ, la versión general del teorema de Pitágoras, que se usa cuando los senos por sí solos no saben lo suficiente.

Cuál de los dos hace falta depende de cómo estén dispuestos los datos, y por eso los casos tienen nombre. Con tres lados (LLL) o con dos lados y el ángulo entre ellos (LAL) se parte del teorema del coseno, porque es el único que relaciona tres lados con un ángulo. Con un lado y dos ángulos (ALA o AAL) el tercer ángulo sale de restar a 180° los otros dos y el teorema del seno fija la escala: es el caso de quien conoce los ángulos y quiere los lados, el más habitual en topografía y triangulación, donde los ángulos se miden bien y las distancias no.

Queda el caso de dos lados y un ángulo que no está entre ellos (LLA), donde el triángulo puede ser doble. El teorema del seno devuelve el seno de un ángulo, y dos ángulos suplementarios comparten el seno: si el obtuso también cierra el triángulo, hay dos soluciones, con terceros lados y áreas distintas. No es un fallo del cálculo, son dos figuras compatibles con los datos; esta calculadora muestra las dos en vez de elegir una.

Errores frecuentes

Llamar hipotenusa al lado más largo de un triángulo cualquiera y aplicar Pitágoras. El teorema de Pitágoras solo vale con un ángulo recto: en el caso general el término −2ab·cos γ no se anula, y es justo lo que añade el teorema del coseno.
Quedarse con la primera solución en el caso LLA. Si del ángulo se toma solo el arcoseno se obtiene siempre un ángulo agudo, y el triángulo obtuso —igual de válido— desaparece sin que nada lo advierta.
Emparejar un lado con el ángulo equivocado. En el teorema del seno cada lado va con el ángulo que tiene enfrente, no con el que casualmente lleva la misma letra: el lado a con α, no con el ángulo del vértice A del que parte.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calculan los lados de un triángulo conociendo los ángulos?

Los ángulos por sí solos no bastan: dan la forma pero no el tamaño, e infinitos triángulos semejantes tienen los mismos ángulos. Hace falta al menos un lado. Con un lado y dos ángulos, el tercer ángulo es 180° menos los otros dos y el teorema del seno da los demás lados: b = a·sen β / sen α.

¿Cuántas medidas hacen falta para resolver un triángulo?

Tres, de las cuales al menos una debe ser un lado. Tres lados, dos lados y un ángulo, o un lado y dos ángulos sirven; tres ángulos no, porque dejan la escala indeterminada.

¿Qué es el caso ambiguo de los triángulos?

Es el caso de dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos (LLA). El teorema del seno da el seno de un ángulo, y dos ángulos suplementarios comparten el seno: cuando el obtuso también permite cerrar el triángulo, hay dos soluciones. Esta calculadora muestra ambas.

¿Cuándo se usa el teorema del coseno en lugar del teorema del seno?

Cuando los datos son tres lados o dos lados con el ángulo comprendido: en esas dos situaciones el teorema del seno no puede arrancar, porque todavía no hay ninguna pareja de lado y ángulo opuesto conocida. En los demás casos el teorema del seno es más directo.

¿Cómo se calcula el área sin conocer la altura?

Con dos lados y el ángulo comprendido: A = ½·a·b·sen γ. Si se conocen los tres lados se usa la fórmula de Herón, A = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) con p el semiperímetro. La calculadora muestra de todos modos las tres alturas, cada una obtenida del área como h = 2A/lado.

Cómo funciona este cálculo

Teorema del seno: a/sen α = b/sen β = c/sen γ = 2R, con R el radio de la circunferencia circunscrita. Teorema del coseno: a² = b² + c² − 2bc·cos α, y análogas para los demás lados. Suma de los ángulos: α + β + γ = 180°. Tres lados (LLL): cos α = (b² + c² − a²)/(2bc), después cos β igual y γ por diferencia; el triángulo existe solo si cada lado es menor que la suma de los otros dos. Dos lados y el ángulo comprendido (LAL): el tercer lado por el teorema del coseno y luego como arriba. Un lado y dos ángulos (ALA o AAL): el tercer ángulo por diferencia y los demás lados por el teorema del seno. Dos lados y un ángulo no comprendido (LLA): sen β = b·sen α / a; si el resultado supera 1 el triángulo no existe, en caso contrario son soluciones tanto β como 180° − β, siempre que la suma con α quede por debajo de 180°. Área: A = ½·a·b·sen γ, equivalente a la fórmula de Herón A = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Alturas: h_a = 2A/a. Radio inscrito: r = A/p.

Teorema de Pitágoras

Hipotenusa o cateto que falta, con área, perímetro, ángulos y teoremas de Euclides.

Perímetro y área

Perímetro, área y medidas derivadas de nueve figuras planas, del cuadrado a la elipse.

Fórmulas trigonométricas

Razones fundamentales, ángulo mitad, ángulo doble, suma, prostaféresis y Werner sobre uno o dos ángulos.