Matematica
Calcolatrice delle formule trigonometriche
Inserisci un angolo — e un secondo, se ti serve — e vedi ogni identità con la formula accanto al valore: bisezione, duplicazione, addizione, prostaferesi e Werner.
Come si usano queste formule
Le formule trigonometriche servono a riscrivere un'espressione in una forma più maneggevole, non a ottenere un numero: per quello basta la calcolatrice del telefono. Il valore accanto a ogni identità è quindi una verifica — ti dice che la riscrittura è corretta sui tuoi angoli — mentre la formula è ciò che porterai nell'esercizio.
Le formule di bisezione esprimono seno, coseno e tangente di α/2 usando soltanto il coseno di α. Nella forma classica compare un ± davanti al radicale, e la scelta del segno dipende dal quadrante in cui cade α/2: è l'errore più comune negli esercizi. Qui il valore è calcolato direttamente su α/2, quindi il segno è già quello giusto e puoi usarlo come controllo della tua scelta.
Le formule di prostaferesi trasformano somme in prodotti, e sono le più utili quando bisogna risolvere un'equazione: una somma di seni non si annulla facilmente, un prodotto sì, perché basta che si annulli un fattore. Le formule di Werner fanno il cammino opposto e servono quando un prodotto va integrato o semplificato.
Errori frequenti
- Sbagliare il segno nelle formule di bisezione: il ± non è una scelta libera, lo decide il quadrante di α/2 e non quello di α.
- Applicare le formule con angoli in gradi dove la formula presuppone i radianti: controlla l'unità selezionata prima di leggere i valori.
- Dimenticare che tangente e cotangente non esistono ovunque: tan α non è definita a 90°, cot α non lo è a 0°. Dove capita, la tabella lo dice invece di mostrare un numero enorme.
Domande frequenti
Che cosa sono le formule di prostaferesi?
Sono le quattro identità che trasformano una somma o una differenza di seni e coseni in un prodotto: per esempio sin α + sin β = 2·sin((α+β)/2)·cos((α−β)/2). Servono soprattutto nelle equazioni, perché un prodotto si annulla appena si annulla un fattore.
Perché le formule di bisezione hanno il doppio segno?
Perché il radicale restituisce sempre un valore positivo, mentre seno e coseno di α/2 possono essere negativi. Il segno lo determina il quadrante in cui si trova α/2: per α = 300°, per esempio, α/2 = 150° cade nel secondo quadrante, dove il coseno è negativo.
Posso lavorare in radianti?
Sì, basta cambiare l'unità nel selettore. La calcolatrice mostra comunque entrambe le letture dell'angolo, così puoi verificare di aver scelto l'unità giusta.
Come funziona questo calcolo
Bisezione: sin(α/2) = ±√((1−cos α)/2), cos(α/2) = ±√((1+cos α)/2), tan(α/2) = sin α/(1+cos α). Duplicazione: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α, tan 2α = 2 tan α/(1−tan²α). Addizione: sin(α±β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α±β) = cos α cos β ∓ sin α sin β. Prostaferesi: sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2); sin α − sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α−β)/2); cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2); cos α − cos β = −2 sin((α+β)/2) sin((α−β)/2). Werner: sin α sin β = ½[cos(α−β) − cos(α+β)]; cos α cos β = ½[cos(α−β) + cos(α+β)]; sin α cos β = ½[sin(α+β) + sin(α−β)].