Teorema di Pitagora: calcola ipotenusa e cateto

Quando serve il teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti: a² + b² = c². Da questa uguaglianza si ricava qualunque lato conoscendo gli altri due — l'ipotenusa come √(a² + b²), un cateto come √(c² − a²) — ed è il motivo per cui il teorema compare ovunque si debba passare da una misura orizzontale e una verticale a una distanza in diagonale.

Il teorema vale solo nel triangolo rettangolo, e questo è il vincolo che decide se il calcolo ha senso. L'ipotenusa è per definizione il lato opposto all'angolo retto, quindi è sempre il più lungo: se il valore inserito come ipotenusa è minore di un cateto, quel triangolo non esiste. Per i triangoli qualunque servono il teorema del coseno o la formula di Erone.

Sotto il risultato trovi anche l'altezza relativa all'ipotenusa e le proiezioni dei due cateti su di essa: sono le grandezze dei due teoremi di Euclide, che quasi sempre arrivano nell'esercizio subito dopo Pitagora. L'altezza è media proporzionale fra le due proiezioni, e ciascun cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la propria proiezione.

Errori frequenti

Sommare invece di sottrarre quando si cerca un cateto: per l'ipotenusa si sommano i quadrati, per un cateto si sottraggono. Sbagliando verso si ottiene un cateto più lungo dell'ipotenusa, che è la spia dell'errore.
Dimenticare la radice quadrata finale: a² + b² dà il quadrato dell'ipotenusa, non l'ipotenusa. Con 3 e 4 si ottiene 25 invece di 5.
Applicare il teorema a un triangolo che non è rettangolo: senza l'angolo retto la relazione non vale, e il risultato non significa nulla. Verifica sempre dove sta l'angolo retto prima di chiamare un lato ipotenusa.

Domande frequenti

Come si calcola l'ipotenusa con il teorema di Pitagora?

Si sommano i quadrati dei due cateti e si estrae la radice quadrata: c = √(a² + b²). Con cateti 3 e 4 si ottiene √(9 + 16) = √25 = 5.

Come si trova un cateto conoscendo ipotenusa e altro cateto?

Si sottrae il quadrato del cateto noto da quello dell'ipotenusa e si estrae la radice: a = √(c² − b²). Con ipotenusa 13 e cateto 5 si ottiene √(169 − 25) = √144 = 12.

Che cos'è una terna pitagorica?

Sono tre numeri interi che soddisfano a² + b² = c², come 3-4-5, 5-12-13 o 8-15-17. Ogni multiplo di una terna è ancora una terna: 6-8-10 è il doppio di 3-4-5. La calcolatrice lo segnala quando il triangolo che hai inserito ne è una.

Il teorema di Pitagora vale per tutti i triangoli?

No, soltanto per quelli rettangoli. Per un triangolo qualunque la relazione diventa il teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab·cos(γ), che si riduce a Pitagora quando l'angolo γ è retto e il coseno si annulla.

Come funziona questo calcolo

Teorema di Pitagora: a² + b² = c², con c ipotenusa. Ipotenusa: c = √(a² + b²). Cateto: b = √(c² − a²), definito solo se c > a. Area: A = (a·b)/2. Perimetro: p = a + b + c. Angoli acuti: α = arcsin(a/c), β = arcsin(b/c), con α + β = 90°. Primo teorema di Euclide: a² = c·proiezione di a, da cui proiezione di a = a²/c. Secondo teorema di Euclide: l'altezza relativa all'ipotenusa è h = (a·b)/c, media proporzionale fra le due proiezioni.

Risoluzione dei triangoli

Risolvi un triangolo qualunque da tre misure, caso ambiguo compreso.

Perimetro e area

Perimetro, area e misure derivate di nove figure piane, dal quadrato all'ellisse.

Formule trigonometriche

Valori fondamentali, bisezione, duplicazione, addizione, prostaferesi e Werner su uno o due angoli.