Théorème de Pythagore : calculer l'hypoténuse et le côté

Quand le théorème de Pythagore est utile

Dans un triangle rectangle, le carré construit sur l'hypoténuse est équivalent à la somme des carrés construits sur les côtés de l'angle droit : a² + b² = c². De cette égalité on tire n'importe quel côté à partir des deux autres — l'hypoténuse comme √(a² + b²), un côté comme √(c² − a²) — et c'est pourquoi le théorème apparaît partout où il faut passer d'une mesure horizontale et d'une mesure verticale à une distance en diagonale.

Le théorème ne vaut que dans le triangle rectangle, et cette contrainte décide si le calcul a un sens. L'hypoténuse est par définition le côté opposé à l'angle droit, donc toujours le plus long : si la valeur saisie comme hypoténuse est inférieure à un côté, ce triangle n'existe pas. Pour un triangle quelconque, il faut la loi des cosinus ou la formule de Héron.

Sous le résultat figurent aussi la hauteur relative à l'hypoténuse et les projections des deux côtés sur celle-ci : ce sont les grandeurs des deux théorèmes d'Euclide, qui arrivent presque toujours dans l'exercice juste après Pythagore. La hauteur est moyenne proportionnelle entre les deux projections, et chaque côté est moyen proportionnel entre l'hypoténuse et sa propre projection.

Erreurs fréquentes

Additionner au lieu de soustraire quand on cherche un côté de l'angle droit : pour l'hypoténuse on additionne les carrés, pour un côté on les soustrait. Dans le mauvais sens, on obtient un côté plus long que l'hypoténuse, ce qui trahit l'erreur.
Oublier la racine carrée finale : a² + b² donne le carré de l'hypoténuse, pas l'hypoténuse. Avec 3 et 4 on obtient 25 au lieu de 5.
Appliquer le théorème à un triangle qui n'est pas rectangle : sans l'angle droit la relation ne vaut pas et le résultat ne signifie rien. Vérifiez toujours où se trouve l'angle droit avant d'appeler un côté hypoténuse.

Questions fréquentes

Comment calculer l'hypoténuse avec le théorème de Pythagore ?

On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit et on extrait la racine carrée : c = √(a² + b²). Avec des côtés de 3 et 4, on obtient √(9 + 16) = √25 = 5.

Comment trouver un côté connaissant l'hypoténuse et l'autre côté ?

On soustrait le carré du côté connu à celui de l'hypoténuse et on extrait la racine : a = √(c² − b²). Avec une hypoténuse de 13 et un côté de 5, on obtient √(169 − 25) = √144 = 12.

Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien ?

Ce sont trois nombres entiers vérifiant a² + b² = c², comme 3-4-5, 5-12-13 ou 8-15-17. Tout multiple d'un triplet reste un triplet : 6-8-10 est le double de 3-4-5. La calculatrice le signale lorsque le triangle saisi en est un.

Le théorème de Pythagore vaut-il pour tous les triangles ?

Non, seulement pour les triangles rectangles. Pour un triangle quelconque, la relation devient la loi des cosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos(γ), qui se réduit à Pythagore lorsque l'angle γ est droit et que le cosinus s'annule.

Comment fonctionne ce calcul

Théorème de Pythagore : a² + b² = c², avec c l'hypoténuse. Hypoténuse : c = √(a² + b²). Côté de l'angle droit : b = √(c² − a²), défini seulement si c > a. Aire : A = (a·b)/2. Périmètre : p = a + b + c. Angles aigus : α = arcsin(a/c), β = arcsin(b/c), avec α + β = 90°. Premier théorème d'Euclide : a² = c · projection de a, d'où projection de a = a²/c. Deuxième théorème d'Euclide : la hauteur relative à l'hypoténuse est h = (a·b)/c, moyenne proportionnelle entre les deux projections.

Résolution de triangles

Résolvez un triangle quelconque à partir de trois mesures, cas ambigu compris.

Périmètre et aire

Périmètre, aire et mesures dérivées de neuf figures planes, du carré à l'ellipse.

Formules trigonométriques

Rapports fondamentaux, arc moitié, arc double, addition, prosthaphérèse et Werner sur un ou deux angles.