Twierdzenie Pitagorasa: przeciwprostokątna i przyprostokątna

Kiedy przydaje się twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej jest równoważny sumie kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych: a² + b² = c². Z tej równości wyznacza się dowolny bok, znając dwa pozostałe — przeciwprostokątną jako √(a² + b²), przyprostokątną jako √(c² − a²) — i dlatego twierdzenie pojawia się wszędzie tam, gdzie z miary poziomej i pionowej trzeba przejść do odległości po skosie.

Twierdzenie obowiązuje wyłącznie w trójkącie prostokątnym i to właśnie ten warunek decyduje o sensowności obliczenia. Przeciwprostokątna jest z definicji bokiem leżącym naprzeciw kąta prostego, więc zawsze jest najdłuższa: jeśli wartość wpisana jako przeciwprostokątna jest mniejsza od przyprostokątnej, taki trójkąt nie istnieje. Dla dowolnych trójkątów potrzebne jest twierdzenie cosinusów albo wzór Herona.

Pod wynikiem znajdziesz też wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną i rzuty obu przyprostokątnych na nią: to wielkości z dwóch twierdzeń Euklidesa, które w zadaniu prawie zawsze pojawiają się zaraz po Pitagorasie. Wysokość jest średnią geometryczną obu rzutów, a każda przyprostokątna jest średnią geometryczną przeciwprostokątnej i własnego rzutu.

Częste błędy

Dodawanie zamiast odejmowania przy szukaniu przyprostokątnej: dla przeciwprostokątnej dodaje się kwadraty, dla przyprostokątnej odejmuje. Pomyłka daje przyprostokątną dłuższą od przeciwprostokątnej, co zdradza błąd.
Pominięcie końcowego pierwiastka: a² + b² daje kwadrat przeciwprostokątnej, a nie samą przeciwprostokątną. Dla 3 i 4 wychodzi 25 zamiast 5.
Stosowanie twierdzenia do trójkąta, który nie jest prostokątny: bez kąta prostego zależność nie obowiązuje, a wynik nic nie znaczy. Zawsze sprawdź, gdzie jest kąt prosty, zanim nazwiesz bok przeciwprostokątną.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa?

Dodaje się kwadraty obu przyprostokątnych i wyciąga pierwiastek kwadratowy: c = √(a² + b²). Dla przyprostokątnych 3 i 4 otrzymujemy √(9 + 16) = √25 = 5.

Jak znaleźć przyprostokątną, znając przeciwprostokątną i drugą przyprostokątną?

Odejmuje się kwadrat znanej przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej i wyciąga pierwiastek: a = √(c² − b²). Dla przeciwprostokątnej 13 i przyprostokątnej 5 otrzymujemy √(169 − 25) = √144 = 12.

Czym jest trójka pitagorejska?

To trzy liczby całkowite spełniające a² + b² = c², na przykład 3-4-5, 5-12-13 czy 8-15-17. Każda wielokrotność trójki nadal jest trójką: 6-8-10 to podwojone 3-4-5. Kalkulator sygnalizuje to, gdy wpisany trójkąt nią jest.

Czy twierdzenie Pitagorasa obowiązuje dla wszystkich trójkątów?

Nie, tylko dla prostokątnych. Dla dowolnego trójkąta zależność przechodzi w twierdzenie cosinusów, c² = a² + b² − 2ab·cos(γ), które redukuje się do Pitagorasa, gdy kąt γ jest prosty i cosinus się zeruje.

Jak działa to obliczenie

Twierdzenie Pitagorasa: a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna. Przeciwprostokątna: c = √(a² + b²). Przyprostokątna: b = √(c² − a²), określona tylko dla c > a. Pole: P = (a·b)/2. Obwód: o = a + b + c. Kąty ostre: α = arcsin(a/c), β = arcsin(b/c), przy czym α + β = 90°. Pierwsze twierdzenie Euklidesa: a² = c · rzut a, skąd rzut a = a²/c. Drugie twierdzenie Euklidesa: wysokość opuszczona na przeciwprostokątną wynosi h = (a·b)/c i jest średnią geometryczną obu rzutów.

Rozwiązywanie trójkątów

Rozwiąż dowolny trójkąt z trzech miar, z przypadkiem niejednoznacznym włącznie.

Obwód i pole

Obwód, pole i wielkości pochodne dziewięciu figur płaskich, od kwadratu po elipsę.

Wzory trygonometryczne

Funkcje podstawowe, wzory na połowę kąta, podwojenie, sumę, prostaferezy i Wernera dla jednego lub dwóch kątów.