Satz des Pythagoras: Hypotenuse und Kathete berechnen

Wann der Satz des Pythagoras gebraucht wird

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse flächengleich zur Summe der Quadrate über den Katheten: a² + b² = c². Aus dieser Gleichung erhält man jede Seite aus den beiden anderen — die Hypotenuse als √(a² + b²), eine Kathete als √(c² − a²) — und deshalb taucht der Satz überall dort auf, wo aus einer waagerechten und einer senkrechten Strecke eine schräge Entfernung werden soll.

Der Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck, und diese Bedingung entscheidet, ob die Rechnung sinnvoll ist. Die Hypotenuse ist definitionsgemäß die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite und damit immer die längste: Ist der als Hypotenuse eingegebene Wert kleiner als eine Kathete, existiert dieses Dreieck nicht. Für beliebige Dreiecke braucht man den Kosinussatz oder die Formel von Heron.

Unter dem Ergebnis stehen außerdem die Höhe auf der Hypotenuse und die Projektionen der beiden Katheten auf sie: Das sind die Größen der beiden Sätze des Euklid, die in der Aufgabe fast immer direkt nach Pythagoras kommen. Die Höhe ist das geometrische Mittel der beiden Projektionen, und jede Kathete ist das geometrische Mittel aus der Hypotenuse und ihrer eigenen Projektion.

Häufige Fehler

Addieren statt subtrahieren bei der Suche nach einer Kathete: Für die Hypotenuse addiert man die Quadrate, für eine Kathete subtrahiert man sie. In die falsche Richtung erhält man eine Kathete, die länger ist als die Hypotenuse — das verrät den Fehler.
Die Wurzel am Ende vergessen: a² + b² ergibt das Quadrat der Hypotenuse, nicht die Hypotenuse. Aus 3 und 4 wird 25 statt 5.
Den Satz auf ein nicht rechtwinkliges Dreieck anwenden: Ohne rechten Winkel gilt die Beziehung nicht und das Ergebnis bedeutet nichts. Prüfe immer, wo der rechte Winkel liegt, bevor du eine Seite Hypotenuse nennst.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras?

Man addiert die Quadrate der beiden Katheten und zieht die Wurzel: c = √(a² + b²). Mit den Katheten 3 und 4 ergibt sich √(9 + 16) = √25 = 5.

Wie findet man eine Kathete aus Hypotenuse und anderer Kathete?

Man subtrahiert das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse und zieht die Wurzel: a = √(c² − b²). Mit Hypotenuse 13 und Kathete 5 ergibt sich √(169 − 25) = √144 = 12.

Was ist ein pythagoreisches Tripel?

Drei ganze Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen, etwa 3-4-5, 5-12-13 oder 8-15-17. Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder ein Tripel: 6-8-10 ist das Doppelte von 3-4-5. Der Rechner weist darauf hin, wenn dein Dreieck eines ist.

Gilt der Satz des Pythagoras für alle Dreiecke?

Nein, nur für rechtwinklige. Für ein beliebiges Dreieck wird daraus der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab·cos(γ), der sich auf Pythagoras reduziert, wenn γ ein rechter Winkel ist und der Kosinus verschwindet.

Wie diese Berechnung funktioniert

Satz des Pythagoras: a² + b² = c², mit c als Hypotenuse. Hypotenuse: c = √(a² + b²). Kathete: b = √(c² − a²), nur definiert für c > a. Fläche: A = (a·b)/2. Umfang: p = a + b + c. Spitze Winkel: α = arcsin(a/c), β = arcsin(b/c), mit α + β = 90°. Erster Satz des Euklid: a² = c · Projektion von a, also Projektion von a = a²/c. Zweiter Satz des Euklid: Die Höhe auf der Hypotenuse ist h = (a·b)/c, das geometrische Mittel der beiden Projektionen.

Dreieck berechnen

Jedes Dreieck aus drei Maßen lösen, zweideutiger Fall eingeschlossen.

Umfang und Fläche

Umfang, Fläche und abgeleitete Maße für neun ebene Figuren, vom Quadrat bis zur Ellipse.

Trigonometrische Formeln

Grundfunktionen, Halbwinkel, Doppelwinkel, Additionstheoreme, Prosthaphärese und Werner für einen oder zwei Winkel.