Teorema de Pitágoras: calcula la hipotenusa y el cateto

Cuándo hace falta el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos: a² + b² = c². De esta igualdad se obtiene cualquier lado conociendo los otros dos —la hipotenusa como √(a² + b²), un cateto como √(c² − a²)— y por eso el teorema aparece allí donde hay que pasar de una medida horizontal y una vertical a una distancia en diagonal.

El teorema solo vale en el triángulo rectángulo, y esa restricción decide si el cálculo tiene sentido. La hipotenusa es por definición el lado opuesto al ángulo recto, así que siempre es el más largo: si el valor introducido como hipotenusa es menor que un cateto, ese triángulo no existe. Para triángulos cualesquiera hacen falta el teorema del coseno o la fórmula de Herón.

Bajo el resultado también encuentras la altura relativa a la hipotenusa y las proyecciones de los dos catetos sobre ella: son las magnitudes de los dos teoremas de Euclides, que casi siempre llegan en el ejercicio justo después de Pitágoras. La altura es media proporcional entre las dos proyecciones, y cada cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y su propia proyección.

Errores frecuentes

Sumar en vez de restar cuando se busca un cateto: para la hipotenusa se suman los cuadrados, para un cateto se restan. Equivocarse de sentido da un cateto más largo que la hipotenusa, que es la señal del error.
Olvidar la raíz cuadrada final: a² + b² da el cuadrado de la hipotenusa, no la hipotenusa. Con 3 y 4 se obtiene 25 en vez de 5.
Aplicar el teorema a un triángulo que no es rectángulo: sin el ángulo recto la relación no vale y el resultado no significa nada. Comprueba siempre dónde está el ángulo recto antes de llamar hipotenusa a un lado.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la hipotenusa con el teorema de Pitágoras?

Se suman los cuadrados de los dos catetos y se extrae la raíz cuadrada: c = √(a² + b²). Con catetos 3 y 4 se obtiene √(9 + 16) = √25 = 5.

¿Cómo se halla un cateto conociendo la hipotenusa y el otro cateto?

Se resta el cuadrado del cateto conocido al de la hipotenusa y se extrae la raíz: a = √(c² − b²). Con hipotenusa 13 y cateto 5 se obtiene √(169 − 25) = √144 = 12.

¿Qué es una terna pitagórica?

Son tres números enteros que cumplen a² + b² = c², como 3-4-5, 5-12-13 u 8-15-17. Todo múltiplo de una terna sigue siendo una terna: 6-8-10 es el doble de 3-4-5. La calculadora lo indica cuando el triángulo que has introducido lo es.

¿El teorema de Pitágoras vale para todos los triángulos?

No, solo para los rectángulos. Para un triángulo cualquiera la relación se convierte en el teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab·cos(γ), que se reduce a Pitágoras cuando el ángulo γ es recto y el coseno se anula.

Cómo funciona este cálculo

Teorema de Pitágoras: a² + b² = c², con c la hipotenusa. Hipotenusa: c = √(a² + b²). Cateto: b = √(c² − a²), definido solo si c > a. Área: A = (a·b)/2. Perímetro: p = a + b + c. Ángulos agudos: α = arcsen(a/c), β = arcsen(b/c), con α + β = 90°. Primer teorema de Euclides: a² = c · proyección de a, de donde la proyección de a es a²/c. Segundo teorema de Euclides: la altura relativa a la hipotenusa es h = (a·b)/c, media proporcional entre las dos proyecciones.

Resolución de triángulos

Resuelve cualquier triángulo a partir de tres medidas, caso ambiguo incluido.

Perímetro y área

Perímetro, área y medidas derivadas de nueve figuras planas, del cuadrado a la elipse.

Fórmulas trigonométricas

Razones fundamentales, ángulo mitad, ángulo doble, suma, prostaféresis y Werner sobre uno o dos ángulos.