Matematica
Calcolatrice di integrali: primitiva e integrale definito
Scrivi la funzione e ottieni la primitiva, oppure scegli due estremi per l'integrale definito. Sotto il risultato trovi il metodo usato, e se una primitiva elementare non esiste te lo dice invece di inventarla.
Integrare è riconoscere una derivata al contrario
Derivare è meccanico: c'è una regola per ogni struttura e si applica. Integrare no, ed è la ragione per cui si impara dopo. Non esiste una procedura che, data una funzione qualsiasi, produca la sua primitiva: esiste un repertorio di forme riconoscibili e un insieme di tecniche per ricondurre a quelle ciò che non lo è. Il lavoro è di riconoscimento, non di esecuzione.
Le due tecniche che coprono quasi tutti gli esercizi sono la sostituzione e l'integrazione per parti, e sono le due regole di derivazione lette all'indietro. La sostituzione è la regola della catena: se nell'integranda c'è una funzione composta moltiplicata per la derivata di ciò che sta dentro, quel prodotto è esattamente ciò che la catena avrebbe prodotto. L'integrazione per parti è la regola del prodotto riscritta, e serve quando le due funzioni non hanno niente a che vedere l'una con l'altra.
C'è poi un fatto che sorprende chi arriva dalle derivate: alcune funzioni perfettamente ordinarie non hanno primitiva elementare. Non è una lacuna del metodo né di questa pagina — è un teorema. Per e^(−x²), la campana di Gauss, si dimostra che nessuna combinazione finita di polinomi, esponenziali, logaritmi e funzioni goniometriche la integra. L'integrale definito esiste ed è un numero perfettamente rispettabile: semplicemente lo si calcola in un altro modo.
Errori frequenti
- Dimenticare la costante di integrazione nell'integrale indefinito. Le primitive sono infinite e il + C non è una formalità.
- Applicare la regola della potenza con esponente −1. ∫x⁻¹ dx non è x⁰/0: è ln|x|, e il valore assoluto serve.
- Nella sostituzione, cambiare la variabile e dimenticare il differenziale. Se poni u = g(x), devi anche sostituire dx con du/g′(x).
- Nell'integrale definito, invertire gli estremi senza cambiare segno. Scambiare a e b cambia il segno del risultato.
- Confondere l'integrale definito con l'area. Sono la stessa cosa solo dove la funzione è positiva.
Domande frequenti
Perché il risultato ha sempre il + C?
Perché due funzioni che differiscono per una costante hanno la stessa derivata: le primitive di una funzione sono infinite e differiscono fra loro solo per quella costante. Nell'integrale definito il + C sparisce, perché compare due volte con segni opposti e si cancella.
Quando si usa la sostituzione e quando l'integrazione per parti?
La sostituzione serve quando nell'integranda riconosci una funzione e, moltiplicata, la sua derivata: è la regola della catena letta al contrario. Le parti servono quando hai il prodotto di due funzioni di natura diversa, tipicamente un polinomio per un'esponenziale, un seno o un logaritmo.
Perché per alcune funzioni non trova la primitiva?
Per due ragioni diverse. A volte la primitiva esiste ma richiede una tecnica fuori dal repertorio di questa pagina. Altre volte non esiste proprio: è dimostrato che per e^(−x²), per sin(x)/x e per altre funzioni nessuna combinazione finita di funzioni elementari è una primitiva. In quel caso l'integrale definito si calcola comunque, ma numericamente.
Che differenza c'è fra il risultato esatto e quello numerico?
Quello esatto viene dalla primitiva valutata agli estremi ed è corretto fino all'ultima cifra. Quello numerico approssima l'area con il metodo di Simpson: è accurato per gli usi normali ma resta un'approssimazione. La pagina dice sempre quale dei due ti ha dato.
L'integrale definito può venire negativo?
Sì, e non è un errore: dove la funzione sta sotto l'asse delle x il contributo all'area è negativo. Se ti serve l'area geometrica, e non l'integrale, devi spezzare l'intervallo nei punti dove la funzione cambia segno e sommare i valori assoluti.
Come funziona questo calcolo
Linearità: ∫(a·f + b·g) dx = a∫f dx + b∫g dx. Potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) per n ≠ −1, e ∫x⁻¹ dx = ln|x|. Immediati: ∫sin x dx = −cos x, ∫cos x dx = sin x, ∫e^x dx = e^x, ∫tan x dx = −ln|cos x|, ∫dx/(1+x²) = arctan x, ∫dx/(A x² + C) = arctan(x√(A/C))/√(AC), ∫ln x dx = x·ln x − x. Sostituzione lineare: ∫f(ax+b) dx = F(ax+b)/a. Sostituzione: ∫f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)), cioè la regola della catena al contrario. Per parti: ∫u dv = u·v − ∫v du, con u il fattore che derivando si semplifica — il polinomio, o il logaritmo. Integrale definito: ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a). Quando nessuna primitiva elementare viene trovata, il valore definito è calcolato con il metodo di Simpson su 2000 intervalli, e la pagina lo dichiara.
Calcoli collegati
Derivate
Derivata di una funzione e regole usate per ottenerla.
Equazioni di primo e secondo grado
Radici, discriminante, vertice e scomposizione di ax² + bx + c = 0.
Disequazioni
Disequazioni di primo e secondo grado con studio del segno.
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine a coefficienti costanti, con soluzione e grafico.