Matematica
Calcolatrice di numeri complessi
Scrivi i numeri come 3+4i, 2∠60° o 2e^(iπ/3) e scegli l'operazione: ottieni il risultato in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, con modulo, argomento e il disegno sul piano di Gauss.
Le tre forme di un numero complesso
Un numero complesso a + bi è un punto del piano di Gauss: a sull'asse reale, b su quello immaginario. La stessa posizione si può descrivere con la distanza dall'origine, il modulo r = √(a² + b²), e con l'angolo rispetto all'asse reale, l'argomento θ. Da qui nascono la forma trigonometrica r(cos θ + i sin θ) e quella esponenziale r·e^(iθ).
Ogni forma è comoda per qualcosa. Somme e differenze si fanno in forma algebrica, componente per componente. Prodotti e quozienti sono più semplici in forma esponenziale: i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano. Per esempio (1 + i)⁸: il modulo √2 elevato all'ottava fa 16, l'argomento π/4 per otto fa 2π, e il risultato è 16.
Le radici n-esime sono n punti su una circonferenza: hanno tutte modulo ⁿ√r e argomenti (θ + 2kπ)/n, distanziati di 2π/n. Le tre radici cubiche di 1 sono 1 e −1/2 ± (√3/2)i, i vertici di un triangolo equilatero.
Errori frequenti
- Calcolare l'argomento con arctan(b/a) senza guardare il quadrante: −1 − i ha argomento −3π/4, non π/4.
- Dimenticare che i² = −1 nei prodotti: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i + 8 = 11 − 2i.
- Trovare una sola radice n-esima: in campo complesso sono sempre esattamente n.
Domande frequenti
Come si divide per un numero complesso?
Si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: il denominatore diventa il reale a² + b². Oppure, in forma esponenziale, si dividono i moduli e si sottraggono gli argomenti.
Che cos'è la formula di Eulero?
È e^(iθ) = cos θ + i sin θ, il ponte fra forma esponenziale e trigonometrica. Con θ = π dà e^(iπ) + 1 = 0.
A che cosa servono i numeri complessi?
In elettrotecnica rappresentano tensioni e correnti alternate come fasori, nei segnali descrivono frequenze e fasi, e in matematica garantiscono che ogni polinomio di grado n abbia n radici.
Come funziona questo calcolo
z = a + bi; modulo r = √(a² + b²); argomento θ = atan2(b, a), in (−π, π]. Forma trigonometrica r(cos θ + i sin θ), esponenziale r·e^(iθ). Prodotto: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Quoziente: moltiplicando per il coniugato di c + di. Potenza (De Moivre): zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Radici: wₖ = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)/n), k = 0 … n − 1.
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