Matematica
Risolutore di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti
Scrivi i coefficienti e il termine noto f(x): ottieni l'equazione caratteristica, la soluzione dell'omogenea, una soluzione particolare con il metodo di somiglianza e, con le condizioni iniziali, la soluzione del problema di Cauchy con il suo grafico.
Equazioni lineari a coefficienti costanti
Un'equazione differenziale lega una funzione alle sue derivate. Quelle lineari a coefficienti costanti, a·y″ + b·y′ + c·y = f(x), descrivono molle, circuiti RLC, circuiti RC e decadimenti: sono le prime che si incontrano a scuola e all'università. La soluzione generale è la somma della soluzione dell'omogenea, con f = 0, e di una soluzione particolare qualsiasi.
Per l'omogenea si cerca y = e^(rx): sostituendo resta l'equazione caratteristica a·r² + b·r + c = 0. Due radici reali danno due esponenziali, una radice doppia r dà (C₁ + C₂x)·e^(rx), due radici complesse α ± iβ danno e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sin βx), cioè un'oscillazione che si smorza o cresce.
La soluzione particolare si trova per somiglianza: si prova una funzione della stessa forma del termine noto con coefficienti incogniti. Per y″ + 3y′ + 2y = 4x + e^(−x) si provano Ax + B e, poiché e^(−x) risolve già l'omogenea, K·x·e^(−x): viene 2x − 3 + x·e^(−x). Le condizioni iniziali fissano infine le costanti.
Errori frequenti
- Dimenticare di moltiplicare per x in caso di risonanza: la prova Ke^(−x) darebbe 0 = e^(−x), impossibile.
- Applicare le condizioni iniziali alla sola soluzione omogenea invece che a quella completa.
- Scrivere le radici complesse come due esponenziali reali: servono seno e coseno di βx.
Domande frequenti
Che cos'è il problema di Cauchy?
È l'equazione più le condizioni iniziali, il valore di y e, per il secondo ordine, di y′ in un punto x₀. Fissano le costanti e rendono la soluzione unica.
E se il termine noto è diverso, per esempio ln x?
Il metodo di somiglianza funziona solo per polinomi, esponenziali, seni, coseni e loro prodotti. Negli altri casi si usa il metodo di variazione delle costanti, che richiede integrali spesso non elementari.
Che cosa rappresentano le radici complesse?
Un'oscillazione: la parte immaginaria β è la pulsazione, la parte reale α dice se l'ampiezza si smorza (α < 0), cresce (α > 0) o resta costante (α = 0).
Come funziona questo calcolo
Omogenea: a·r² + b·r + c = 0. Δ > 0: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x); Δ = 0: y = (C₁ + C₂x)e^(rx); Δ < 0: y = e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sin βx). Particolare per f = xᵏe^(mx) cos(ωx) o sin(ωx): si scrive f come parte reale di e^(λx)G(x), λ = m + iω, e si cerca y = Re[e^(λx)R(x)] con a·R″ + (2aλ + b)R′ + p(λ)R = G, moltiplicando R per x^s se λ è radice caratteristica di molteplicità s. Le condizioni iniziali danno un sistema lineare in C₁ e C₂.
Calcoli collegati
Numeri complessi
Operazioni, forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, potenze e radici n-esime, con il piano di Gauss.
Equazioni di primo e secondo grado
Radici, discriminante, vertice e scomposizione di ax² + bx + c = 0.
Scomposizione di polinomi
Raccoglimento, Ruffini, prodotti notevoli e trinomi: la scomposizione di un polinomio passo per passo.
Integrali
Primitiva di una funzione e integrale definito fra due estremi.