Mathematik
Rechner für komplexe Zahlen
Schreibe die Zahlen als 3+4i, 2∠60° oder 2e^(iπ/3) und wähle die Rechenart: Du erhältst das Ergebnis in algebraischer, trigonometrischer und Exponentialform, mit Betrag, Argument und Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene.
Die drei Darstellungen einer komplexen Zahl
Eine komplexe Zahl a + bi ist ein Punkt der Gaußschen Zahlenebene: a auf der reellen, b auf der imaginären Achse. Denselben Punkt beschreiben der Abstand vom Ursprung, der Betrag r = √(a² + b²), und der Winkel zur reellen Achse, das Argument θ. Daraus entstehen die trigonometrische Form r(cos θ + i sin θ) und die Exponentialform r·e^(iθ).
Jede Form hat ihren Zweck. Summen und Differenzen rechnet man algebraisch, komponentenweise. Produkte und Quotienten sind in Exponentialform einfacher: Beträge werden multipliziert, Argumente addiert. Beispiel (1 + i)⁸: Der Betrag √2 hoch acht ist 16, das Argument π/4 mal acht ist 2π, das Ergebnis ist 16.
Die n-ten Wurzeln sind n Punkte auf einem Kreis: alle mit Betrag ⁿ√r und Argumenten (θ + 2kπ)/n, im Abstand 2π/n. Die drei dritten Wurzeln aus 1 sind 1 und −1/2 ± (√3/2)i, die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks.
Häufige Fehler
- Das Argument mit arctan(b/a) berechnen, ohne auf den Quadranten zu achten: −1 − i hat das Argument −3π/4, nicht π/4.
- Bei Produkten vergessen, dass i² = −1 ist: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i + 8 = 11 − 2i.
- Nur eine n-te Wurzel finden: In den komplexen Zahlen gibt es immer genau n.
Häufige Fragen
Wie teilt man durch eine komplexe Zahl?
Man erweitert Zähler und Nenner mit der Konjugierten des Nenners: Der Nenner wird zur reellen Zahl a² + b². Oder man teilt in Exponentialform die Beträge und subtrahiert die Argumente.
Was ist die Eulersche Formel?
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, die Brücke zwischen Exponential- und trigonometrischer Form. Mit θ = π ergibt sie e^(iπ) + 1 = 0.
Wofür braucht man komplexe Zahlen?
In der Elektrotechnik stellen sie Wechselspannungen und -ströme als Zeiger dar, in der Signalverarbeitung Frequenzen und Phasen, und in der Mathematik sichern sie, dass jedes Polynom n-ten Grades n Nullstellen hat.
So funktioniert diese Berechnung
z = a + bi; Betrag r = √(a² + b²); Argument θ = atan2(b, a), in (−π, π]. Trigonometrische Form r(cos θ + i sin θ), Exponentialform r·e^(iθ). Produkt: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Quotient: Erweitern mit der Konjugierten von c + di. Potenz (Moivre): zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Wurzeln: wₖ = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)/n), k = 0 … n − 1.
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