Matemática
Calculadora de números complexos
Escreva os números como 3+4i, 2∠60° ou 2e^(iπ/3) e escolha a operação: obtenha o resultado nas formas algébrica, trigonométrica e exponencial, com módulo, argumento e o desenho no plano de Argand-Gauss.
As três formas de um número complexo
Um número complexo a + bi é um ponto do plano de Argand-Gauss: a no eixo real, b no imaginário. O mesmo ponto pode ser descrito pela distância à origem, o módulo r = √(a² + b²), e pelo ângulo com o eixo real, o argumento θ. Daí vêm a forma trigonométrica, ou polar, r(cos θ + i sen θ) e a forma exponencial r·e^(iθ).
Cada forma serve para uma coisa. Somas e diferenças se fazem na forma algébrica, componente a componente. Produtos e quocientes são mais simples na forma exponencial: os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Por exemplo (1 + i)⁸: o módulo √2 na oitava dá 16, o argumento π/4 vezes oito dá 2π, e o resultado é 16.
As raízes n-ésimas são n pontos numa circunferência: todas com módulo ⁿ√r e argumentos (θ + 2kπ)/n, separados por 2π/n. As três raízes cúbicas de 1 são 1 e −1/2 ± (√3/2)i, os vértices de um triângulo equilátero.
Erros comuns
- Calcular o argumento com arctg(b/a) sem olhar o quadrante: −1 − i tem argumento −3π/4, não π/4.
- Esquecer que i² = −1 nos produtos: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i + 8 = 11 − 2i.
- Encontrar uma só raiz n-ésima: nos complexos existem sempre exatamente n.
Perguntas frequentes
Como se divide por um número complexo?
Multiplicam-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador: o denominador vira o real a² + b². Ou, na forma exponencial, dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos.
O que é a fórmula de Euler?
É e^(iθ) = cos θ + i sen θ, a ponte entre a forma exponencial e a trigonométrica. Com θ = π ela dá e^(iπ) + 1 = 0.
Para que servem os números complexos?
Em eletrotécnica representam tensões e correntes alternadas como fasores, em sinais descrevem frequências e fases, e na matemática garantem que todo polinômio de grau n tenha n raízes.
Como funciona este cálculo
z = a + bi; módulo r = √(a² + b²); argumento θ = atan2(b, a), em (−π, π]. Forma trigonométrica r(cos θ + i sen θ), exponencial r·e^(iθ). Produto: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Quociente: multiplicando pelo conjugado de c + di. Potência (De Moivre): zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ). Raízes: wₖ = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)/n), k = 0 … n − 1.
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