Matemáticas
Calculadora de números complejos
Escribe los números como 3+4i, 2∠60° o 2e^(iπ/3) y elige la operación: obtendrás el resultado en forma binómica, trigonométrica y exponencial, con módulo, argumento y el dibujo en el plano complejo.
Las tres formas de un número complejo
Un número complejo a + bi es un punto del plano complejo: a en el eje real, b en el imaginario. El mismo punto se describe con su distancia al origen, el módulo r = √(a² + b²), y con su ángulo respecto al eje real, el argumento θ. De ahí salen la forma trigonométrica r(cos θ + i sen θ), la polar r∠θ y la exponencial r·e^(iθ).
Cada forma sirve para algo. Sumas y restas se hacen en forma binómica, componente a componente. Productos y cocientes son más sencillos en forma exponencial: los módulos se multiplican y los argumentos se suman. Por ejemplo (1 + i)⁸: el módulo √2 a la octava da 16, el argumento π/4 por ocho da 2π, y el resultado es 16.
Las raíces n-ésimas son n puntos sobre una circunferencia: todas con módulo ⁿ√r y argumentos (θ + 2kπ)/n, separados 2π/n. Las tres raíces cúbicas de 1 son 1 y −1/2 ± (√3/2)i, los vértices de un triángulo equilátero.
Errores frecuentes
- Calcular el argumento con arctan(b/a) sin mirar el cuadrante: −1 − i tiene argumento −3π/4, no π/4.
- Olvidar que i² = −1 en los productos: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i + 8 = 11 − 2i.
- Encontrar una sola raíz n-ésima: en los complejos siempre hay exactamente n.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se divide entre un número complejo?
Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador: el denominador pasa a ser el real a² + b². O, en forma exponencial, se dividen los módulos y se restan los argumentos.
¿Qué es la fórmula de Euler?
Es e^(iθ) = cos θ + i sen θ, el puente entre la forma exponencial y la trigonométrica. Con θ = π da e^(iπ) + 1 = 0.
¿Para qué sirven los números complejos?
En electrotecnia representan tensiones y corrientes alternas como fasores, en señales describen frecuencias y fases, y en matemáticas garantizan que todo polinomio de grado n tenga n raíces.
Cómo funciona este cálculo
z = a + bi; módulo r = √(a² + b²); argumento θ = atan2(b, a), en (−π, π]. Forma trigonométrica r(cos θ + i sen θ), exponencial r·e^(iθ). Producto: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Cociente: multiplicando por el conjugado de c + di. Potencia (De Moivre): zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ). Raíces: wₖ = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)/n), k = 0 … n − 1.
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