Mathématiques
Calculatrice de nombres complexes
Écris les nombres comme 3+4i, 2∠60° ou 2e^(iπ/3) et choisis l'opération : obtiens le résultat sous forme algébrique, trigonométrique et exponentielle, avec module, argument et le dessin dans le plan complexe.
Les trois formes d'un nombre complexe
Un nombre complexe a + bi est un point du plan complexe : a sur l'axe réel, b sur l'axe imaginaire. Le même point se décrit par sa distance à l'origine, le module r = √(a² + b²), et par son angle avec l'axe réel, l'argument θ. On en tire la forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ) et la forme exponentielle r·e^(iθ).
Chaque forme a son usage. Sommes et différences se font sous forme algébrique, composante par composante. Produits et quotients sont plus simples sous forme exponentielle : les modules se multiplient et les arguments s'additionnent. Par exemple (1 + i)⁸ : le module √2 puissance huit vaut 16, l'argument π/4 fois huit vaut 2π, et le résultat est 16.
Les racines n-ièmes sont n points sur un cercle : toutes de module ⁿ√r et d'arguments (θ + 2kπ)/n, espacés de 2π/n. Les trois racines cubiques de 1 sont 1 et −1/2 ± (√3/2)i, les sommets d'un triangle équilatéral.
Erreurs fréquentes
- Calculer l'argument par arctan(b/a) sans regarder le quadrant : −1 − i a pour argument −3π/4, pas π/4.
- Oublier que i² = −1 dans les produits : (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i + 8 = 11 − 2i.
- Ne trouver qu'une racine n-ième : dans les complexes il y en a toujours exactement n.
Questions fréquentes
Comment divise-t-on par un nombre complexe ?
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient le réel a² + b². Ou, sous forme exponentielle, on divise les modules et on soustrait les arguments.
Qu'est-ce que la formule d'Euler ?
C'est e^(iθ) = cos θ + i sin θ, le pont entre forme exponentielle et trigonométrique. Avec θ = π, elle donne e^(iπ) + 1 = 0.
À quoi servent les nombres complexes ?
En électrotechnique, ils représentent tensions et courants alternatifs sous forme de phaseurs ; en traitement du signal, fréquences et phases ; en mathématiques, ils garantissent qu'un polynôme de degré n a n racines.
Comment fonctionne ce calcul
z = a + bi ; module r = √(a² + b²) ; argument θ = atan2(b, a), dans ]−π, π]. Forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ), exponentielle r·e^(iθ). Produit : (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Quotient : en multipliant par le conjugué de c + di. Puissance (Moivre) : zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Racines : wₖ = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)/n), k = 0 … n − 1.
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