Matematyka
Kalkulator liczb zespolonych
Wpisz liczby jako 3+4i, 2∠60° lub 2e^(iπ/3) i wybierz działanie: otrzymasz wynik w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej, z modułem, argumentem i rysunkiem na płaszczyźnie zespolonej.
Trzy postacie liczby zespolonej
Liczba zespolona a + bi to punkt płaszczyzny zespolonej: a na osi rzeczywistej, b na urojonej. Ten sam punkt opisuje odległość od początku układu, moduł r = √(a² + b²), oraz kąt z osią rzeczywistą, argument θ. Stąd postać trygonometryczna r(cos θ + i sin θ) i wykładnicza r·e^(iθ).
Każda postać do czegoś się przydaje. Sumy i różnice liczy się w postaci algebraicznej, składowa po składowej. Iloczyny i ilorazy są prostsze w postaci wykładniczej: moduły się mnoży, argumenty dodaje. Na przykład (1 + i)⁸: moduł √2 do ósmej daje 16, argument π/4 razy osiem daje 2π, a wynik to 16.
Pierwiastki n-tego stopnia to n punktów na okręgu: wszystkie o module ⁿ√r i argumentach (θ + 2kπ)/n, oddalonych o 2π/n. Trzy pierwiastki trzeciego stopnia z 1 to 1 oraz −1/2 ± (√3/2)i, wierzchołki trójkąta równobocznego.
Częste błędy
- Liczenie argumentu jako arctg(b/a) bez sprawdzenia ćwiartki: −1 − i ma argument −3π/4, a nie π/4.
- Zapominanie, że i² = −1 w iloczynach: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i + 8 = 11 − 2i.
- Znajdowanie tylko jednego pierwiastka n-tego stopnia: w liczbach zespolonych jest ich zawsze dokładnie n.
Najczęstsze pytania
Jak dzielić przez liczbę zespoloną?
Mnoży się licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika: mianownik staje się liczbą rzeczywistą a² + b². Albo w postaci wykładniczej dzieli się moduły i odejmuje argumenty.
Czym jest wzór Eulera?
To e^(iθ) = cos θ + i sin θ, pomost między postacią wykładniczą a trygonometryczną. Dla θ = π daje e^(iπ) + 1 = 0.
Do czego służą liczby zespolone?
W elektrotechnice przedstawiają napięcia i prądy przemienne jako wskazy, w przetwarzaniu sygnałów opisują częstotliwości i fazy, a w matematyce gwarantują, że każdy wielomian stopnia n ma n pierwiastków.
Jak działa to obliczenie
z = a + bi; moduł r = √(a² + b²); argument θ = atan2(b, a), w (−π, π]. Postać trygonometryczna r(cos θ + i sin θ), wykładnicza r·e^(iθ). Iloczyn: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Iloraz: mnożąc przez sprzężenie c + di. Potęga (de Moivre): zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Pierwiastki: wₖ = ⁿ√r·e^(i(θ + 2kπ)/n), k = 0 … n − 1.
Powiązane kalkulatory
Równania pierwszego i drugiego stopnia
Pierwiastki, wyróżnik, wierzchołek i postać iloczynowa równania ax² + bx + c = 0.
Rozkład wielomianu na czynniki
Wyłączanie wspólnego czynnika, schemat Hornera, wzory skróconego mnożenia i trójmiany krok po kroku.
Równania różniczkowe
Liniowe równania różniczkowe pierwszego i drugiego rzędu o stałych współczynnikach, z rozwiązaniem i wykresem.